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设f（X）∈k[X],我们称f（X）的所有同构象中所依赖的变元xi的最小个数为f的外秩（outer rank）,简记为Orank（f）一直以来,具体指明给定元素的外秩是许多代数系统（如自由李代数,自由群）重要的研究课题.然而,据我们所知,关于多项式环上的外秩并没有太多的研究.在本文中我们以多项式收缩作为工具具体给出了一类多项式的外秩.另外,如果自同态将每一个多项式变成一个与该多项式具有相同外秩的多项式,那么我们就称该自同态保持外秩.由外秩的定义容易知道,多项式外秩是一个自同构不变量.自然地,我们会问一个保持外秩的自同态是否为自同构.这个问题被称作外秩保持问题.本文第二章首先给出一类多项式的外秩,在此基础上对外秩保持问题进行了研究.定理2.2.1设则Orank（g（x,y））=1当且仅当等价地,Orank（g（x,y））=2当且仅当q（x,y）∈k[x,y]\k[y].定理2.2.2设且φ保持外秩.若φ的象中含有坐标,则φ是自同构.推论2.2.4设如果φ保持外秩,并且有非常数多项式u（x,y）使得那么φ是自同构.设R为k[X]的子代数.如果R为k[X]的幂等自同态的象,那么就称R为k[X]的收缩.多项式收缩既有理论意义又有应用价值.1977年,Costa证明了,1)如果trdegk（R）=0,那么R=k;2)如果trdegk（R）=1,那么存在g（X）∈k[X]使得R=k[g]；3)如果trdegk（R）=n,那么必有R=k[X].特别地,k[x,y]上的收缩为k上的多项式环.进一步,他提出下面的问题：k[X]的收缩是否都是k上的多项式环的形式（n≥3）?同时他还说明,如果该问题有肯定回答,那么Zariski消去猜测成立.Zariski（?）消去猜测是代数几何领域一个尚未证明的著名猜测.另一方面,人们还发现多项式收缩有许多重要应用,如,1999年,Shpilrain和Yu利用收缩给出了2维Jacobi猜测的一个等价形式：设为满足Jacobi条件的2维多项式映射,则Jacobi猜测成立等价于k[f1]或k[f2]为k[x,y]的收缩.2008年,Gong和Yu利用收缩证明了2维自同构轨道保持问题.本文第三章对Costa的问题进行了研究,在n=3时,部分地解决了该问题.定理3.2.1设R为k[x,y,z]的收缩,对应收缩同态为φ,如果trdegkR=2,并且φ的分量中含有坐标p,其中p∈{x,y,z},那么存在坐标f及使得R=k[f,g]设R为环S的子代数,若对于任意的非零a,b∈S,当ab∈R时必有a∈R且b∈R,则称R为inert-子代数.定理3.2.2设R为k[x,y,z]的超越次数为2的收缩,如果R为inert子代数,相应的收缩同态φ=（f,g,h）为梯度,且R中无坐标,则.f,g,h线性相关.特别地,R=k[p,q]，其中p,q∈{f,g,h}.设R为S的子代数.若对于任意的a,b∈S,当F（a,b）=0时,必有a∈R或b∈R,其中则称R为2-赋值代数.定理3.2.3设R为k[x,y,z]的收缩,trdegkR=2.如果R为2-赋值代数,则存在p,q∈R,使得R=k[p,q].进一步,存在r∈k[x,y,z]使得k[x,y,z]=k[p,q,r].Jacobi猜测是说,Jacobi行列式为非零常数的多项式映射是可逆的.1999年,这一猜测作为第十六个问题被Smale列入其二十一世纪十八个数学公开问题Jacobi猜测自1939年被Keller提出以来,引起了许多学者的兴趣,它已经成为仿射代数几何领域最著名的问题之一Jacobi猜测还远未得到解决.1982年,Bass等人给出Jacobi猜测的一个经典的约化定理,说明对Jacobi猜测只需证明下面形式的多项式映射F=X+H,其中H为三次齐次多项式映射并且其Jacobi矩阵H’是幂零的.这个约化定理促使人们提出了下列齐次相关性问题HDP（n,d）：设H为d次齐次多项式映射且满足H’幂零,则H各分量之间是否线性相关的?2004年,deBondt通过对拟平移的研究首先给出了齐次相关性问题的反例De Bondt进一步考虑了一类特殊的拟平移,设g（X）∈k[X]并且dct（Hg）=0,则存在使得R（（?）g）=0.定义G=（?）R。（?）g,则X+G为拟平移.De Bondt在他的博士论文中提出了下面的问题：G的分量是否线性相关的?这是一类特殊的相关性问题,该问题在n≤3时有肯定回答,但当n≥4时为公开问题.本文第四章将对这一问题展开讨论,部分地解决了该问题,特别地,在n=4时,给出G各分量线性相关的一个充要条件.定理4.2.1设h∈k[x1,x2,x3,x4]满足det Hh=0,并设X+H为对应于h的拟平移.1)如果rkHh≤2,那么H的各分量线性相关;2)如果rkHh=3,Ⅱ≠0,并且g为（?）h的关系理想的一个生成元,那么Ⅱ的各分量线性相关当且仅当（?）g各分量线性相关.推论4.2.2设h∈k[x1,x2,x3,x4]为齐次多项式,如果det Hh=0,那么对于（?）h的任意关系R,（?）R（（?）h）的各分量线性相关.设h∈k[x1,x2,,xn],如果存在T∈GLn（k）使得h（TX）∈k[x1,x2,,xn-1],那么就称h退化（degenerate）.定理4.2.2设h∈k[x1,x2,x3,x4,x5]为齐次多项式.如果h退化,那么对于（?）h的任意关系R,（?）（（?）h）的各分量线性相关.