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设S={x1，…，xn}是由n个不同正整数组成的集合.设e为一个实数.如果对所有的1≤i，j≤n，有(xi，xj)∈S，则称S是最大公因子封闭的(gcd-closed).第i行j列元素由xi和xj的最小公倍数的e次幂[xi，xj]e构成的n×n矩阵([xi，xj]e)，称为定义在S上的e次幂LCM矩阵.在这篇文章中证明了如果e≥1并且n≤7，那么定义在最大公因子封闭集S上的幂LCM矩阵([xi，xj]e)是非奇异的.这证明了洪绍方在2004年提出的一个猜想在n≤7及e≥1时是正确的.
洪绍方在2002年猜想：对于给定的正整数t，存在一个由t唯一决定的正整数k(t)，k(t)满足：如果n≤k(t)，那么定义在任何最大公因子封闭集S={x1,…,xn}上的幂LCM矩阵([xi，xj]t)是非奇异的，但是对于n≥k(t)+1，则存在一个最大公因子封闭集S={x1,…，xn}，使得其幂LCM矩阵([xi，xj]t)是奇异的.2004年曹炜证明了对任意给定的整数t≥2，k(t)≥9等价于下面的不定方程(称为LCM方程)在约束条件下没有t次幂整数解：
1/[y1,y2,y3,y4]-4∑i=11/yi+1/(y1,y1)+1/(y1,y3)+1/(y2,y3)=0(l)对于给定的整数x，用ω(x)表示x的不同素因子的个数并令y=[y1，y2，y3，y4]，这本文中我们证明了当ω(y)＜4时，(l)没有t(≥2)次幂整数解，并且给出ω(y)=4时方程(l)有二次幂整数解的必要条件.进一步证明了y≤1334025时，(l)无二次幂整数解.一般地，我们猜想k(2)≥9.