在研究方程(组)的多解性质时,分歧理论是非常重要的工具.由于在非线性科学和相关应用领域里涌现出大量的分歧问题,在过去几十年里,分歧理论经历了蓬勃的发展,已经成为非线性分析的中心内容之一.特别地,变分方程(组)的分歧问题在最近几年受到极大的关注,很多著名的数学家包括Ambrosetti,Bartsh,Dancer,KielhSfer,张恭庆,刘嘉荃,王志强等都在相关方面都取得了重要成果.　　 根据参数的不同,单参数变分方程的局部分歧结果大致可分为B(o)hmeMarino型分歧和Pabinowitz型分歧两种.前者已被刘嘉荃教授推广至C0算子的情形;相应地,Rabinowitz型分歧结果也被Ioffe和Schwartzman推广至C0,1算子的情形.在上述工作的启发下,我们在第二章建立了关于孤立临界集的Rabinowitz分歧定理,大大推广了经典的结果.分别应用Conley指标和度量空间上的非光滑临界点理论给出了该定理的两种证明方法.并且将该定理应用于Ambrosetti-Prodi型问题中,分别在次临界和临界两种情形下给出了该问题四个非平凡解存在的简洁证明.　　 对非实解析的变分方程而言,其分歧点未必是分支点.自然地,有如下问题:在什么情况下,分歧点为分支点呢?Ambrosetti利用山路引理结合不动点指标给出了分歧点为分支点的一个充分条件.基于该结果,我们在第三章中给出了不同的充分条件来保证分支点的存在.进一步,我们建立了大范围分支定理.这些结果均不依赖于特征值的奇数重性质,只需保证特征值为孤立有限重的即可.　　 作为一类特殊的非线性Schr(o)dinger系统,Bose-Einstein凝聚系统是近来非常前沿、非常热门的研究课题,许多知名数学家都做出了很好的结果.但是,仍有很多难以克服的难题.在第四章,我们结合变分法,利用单参数和多参数分歧理论给出了该系统正解存在的参数区域中解集整体性结构的刻画.　　 关于非局部Kirchhoff型方程的研究,张志涛研究员和K.Perera利用下降流不变集的理论给出了这类方程很有影响的结果,随后又很多数学家、学者在此基础上做了不错的成果.然而,对于非局部Kichhoff型方程组的研究,现有的结果很少.我们在第五章研究了一类非局部Kirchhoff型方程组,建立了正解的存在性、最小能量解的存在性、以及无穷多解的存在性结果.主要利用了山路引理、Nehari流形、Fadell-Rabinowitz上同调指标等工具.