本文在后继映射上应用Poincar&Birkhoff扭转定理以及拓扑度来研宄二阶Hamilton微分方程xn+ g(x)= p(t)在振动位势和弱振动位势条件下解的存在性和多解性问题。如果我们把xn+ g(x)= p(t)看成自治方程xn+ g(x)=0在强迫力p(t)下的扰动，那么振动位势条件可以看成是这个扰动在无穷远处关于无限多周期解存在的非退化条件.丁同仁，Iannacci和 Zanolin第一个把Poincar6-Birkhoff扭转定理应用到具有振动位势的二阶H a m ilto n微分方程上，然后钱定边通过时间映射性质分析把他们的工作改进到不需要全局李氏条件和半线性条件，此后 Capietto, Mawhin和 Zanolin,王在洪，郝敦元和马世旺也推广了前面的工作.其中，郝敦元和马世旺在半线性条件下考虑了弱振动位势方程的问题.最近，Fonda,王在洪分别考虑了奇异方程的相关问题。　　本研究旨在考虑振动位势和弱振动位势条件下奇异方程问题的进一步的结果.我们将在一个比较容易判断的积分条件下考虑振动位势方程，在非半线性条件下考虑弱振动位势方程.所得结果全面推广了前面提到的工作.对于这些弱化条件下的讨论，我们不易作出与前面提到文章中相类似的相平面估计.为此本文不是考虑Poincare映射的扭转性,而是考虑后继映射的扭转性，这样的好处是只要考虑一部分特殊的解的角度的变化.为了得到需要的估计，我们也对自治方程的时间映射作了细致的分析.然后应用Poincare-Birkhoff扭转定理证明了相应问题的无限多次调和解的存在性.由于奇异方程的情况下M assera定理不再成立.所以我们再用拓扑度理论证明了相应问题的周期解的存在性。