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本文主要考虑如下椭圆方程(公式略)位势函数：(V1)存在常量α0＞0，使得infx∈RN V(x)=α0.本文的主要结果如下：定理1.假设V是有界位势满足(V1)和(V2)V(x+z)=V(x)x∈RN，z∈ZN.假定β＞1，p＞N，q＞βp，如果g≠0并且‖g‖(Lp(RN))*充分的小，则方程(P)有一个解.如果g＞0，这个解是正的.定理2假设V是有界位势满足(V1)和(V3)lim|x|→∞V(x)=V∞ and V≤V∞.假定β＞1，p＞N，q＞βp，如果g≠0并且‖g‖(Lp(RN))*充分的小，则方程(P)有一个解.如果g＞0，这个解是正的.
另外，在方程(P)中，当p=β=N=2，(P)式有如下形式(公式略)对(1)式中的V和h我们固定以下性质：H1.存在一个连续1-周期函数V0：R2→R满足(1)对于所有x∈R2都有V0(x)≥V(x)≥α0＞0；(2)当|x|→∞时，V0(x)-V(x)→0；H2.存在一个连续1-周期函数h0：R2×R→R满足(1)对于所有(x，u)∈R2×[0，+∞)，都有0≤h0(x，u)≤h(x，u)；(2)对于所有ε＞0，存在η＞0使得对于u≥0和|x|≥η，有 lh(x，u)-h0(x，u)|≤εe4πu4；H3.对于x∈R2，h(x，u)关于u在原点附近一致成立h(x，u)=o1(u)；H4.h在+∞有如下临界增长：对于所有(x，u)∈R2×[0，∞)，都有h(x，u)-h0(x，u)≤C(e4πu4-1)；H5.存在常量μ≥θ＞4使得对于所有(x，u)∈R2×[0，∞)都有0≤θH0(x，u)＜uh0(x，u)和0≤μH(x，u)＜uh(x，u)这里的H0和H是h0和h的原函数；H6.对于每个固定的x∈R2，泛函u→h0(x，u)/u和u→h(x，u)/u是递增的；H7.存在常量p＞2和Cp使得
对于所有(x,u)∈R2×[0，+∞)都有h0(x，u)≥Cpup-1(公式略)其中V1：=maχx∈R2 V(x).
定理3如果满足(H1)-(H7)，那么方程(1)有一个非平凡的弱解u∈H1(R2).