【摘 要】
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有限域Fq上线性码是指空间Fqn线性子空间.线性码在计算机系统、通讯系统、数据存储、信息安全、数字签名、多方安全计算、军事、卫星通讯等领域有着广泛的应用.极小线性码作为一类具有很好代数结构和性质的特殊线性码,在秘密共享、数据通讯和储存方面有广泛的应用.本文利用迹函数构造的函数去研究这一类线性码的结构,得到这类线性码的汉明重量分布.这种构造极小线性码的方法,依赖于计算有限域上的元素在所选取这类函数的
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有限域Fq上线性码是指空间Fqn线性子空间.线性码在计算机系统、通讯系统、数据存储、信息安全、数字签名、多方安全计算、军事、卫星通讯等领域有着广泛的应用.极小线性码作为一类具有很好代数结构和性质的特殊线性码,在秘密共享、数据通讯和储存方面有广泛的应用.本文利用迹函数构造的函数去研究这一类线性码的结构,得到这类线性码的汉明重量分布.这种构造极小线性码的方法,依赖于计算有限域上的元素在所选取这类函数的Walsh变换下的取值.为了计算这类Walsh变换的分布,本文给出了一种范德蒙行列式和p次本原单位根之间的代数等式,这样我们就能得到一类由迹函数构成的函数的Walsh变换和这种范德蒙行列式以及它的代数余子式之间的关系.利用这种关系,确定这类迹函数所构造的具体函数,得到一系列线性码的汉明重量分布.在这类线性码中选取部分码字,结合分类讨论的方法验证所选取的码为极小线性码.本文一共分为四章,分别是:第一章第一节主要讨论了是极小线线性码的研究背景,国内外研究现状和本文的工作,以及本文构造的极小线性码相比于其他极小线性码的优点和缺点.第二章主要论述了本文的相关代数背景.第一节介绍了有限域和伽罗瓦群以及迹映射的相关性质.第二节介绍了极小线性码的概念和计算一类特殊函数构造的线性码的汉明重量分布的相关引理,以及有限域上任意非空子集的特征函数在特定函数形式下的Walsh变换.第三章主要讨论有限域上线性极小码的构造.第一节介绍介绍了利用有限域上子集{αT r（uα）≠0}的特征函数构造极小线性码.第二节介绍了利用有限域上非空线性子空间的特征函数构造极小线性码.第四章主要介绍了当函数为f（x）=xpm-1+Tr（ux）Tr（vx）时,线性码Cf的结构.
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