几十年来,具线性增长的抛物型方程被广泛应用于材料力学、流体力学、图像处理等众多科学与工程领域.然而,关于具线性增长抛物型方程广义解的研究目前基本仍局限于方程对应凸抛物变分积分的情况.Young测度理论是研究非线性方程的强大工具,Young测度解方法很好地解决了部分情形下具标准增长正倒向扩散方程的广义解问题.然而由于Young测度不能有效刻画收敛过程中的集中现象,导致具线性增长抛物型方程的biting Young测度解不再具有唯一性.本文利用广义Young测度理论（特别是Kristensen与Rindler在2010年提出的刻画由有界变差函数列梯度产生的广义梯度Young测度的定理）,对Young测度解方法进行推广,并研究一般的具线性增长抛物型方程的广义解问题,建立相关的广义Young测度解方法.此外,利用这种广义Young测度解方法对一类具线性增长抛物型方程进行研究,并且结合图像去噪的需要基于此类方程进行建模,最后利用数值方法研究此模型的实际去噪效果.主要研究内容包括:1.对具线性增长的正倒向扩散方程,提出广义Young测度解概念,并证明广义Young测度解的存在唯一性.首先,利用广义Young测度理论,将Young测度解的概念自然推广到广义Young测度解概念.然后,提出一些基本假设,在这些基本假设下,构造辅助方程,利用弱收敛方法,结合广义Young测度理论与Anzellotti对偶理论,证明广义Young测度解的存在性.最后,利用单调性与不等式方法,证明广义Young测度解的唯一性.2.对具线性增长的正倒向扩散方程,进一步研究其广义Young测度解的其它性质,包括最大值原理、比较原理、渐近分析与能量分析,以及广义Young测度解与强解之间的关系.首先,利用辅助方程的逼近过程得到广义Young测度解的最大值原理与比较原理.其次,给出广义Young测度平衡解概念,利用紧性方法,证明广义Young测度平衡解的存在唯一性.其次,给出广义Young测度解对应的能量泛函,利用基本假设和能量泛函的弱*下半连续性,证明能量泛函持续衰减到零的性质.最后,在扩散方程具有凸抛物变分积分情形下,利用刻画有界变差函数列梯度的广义Young测度定理,证明广义梯度Young测度解与利用非线性半群理论得到的强解的等价性.3.针对图像去噪问题,设计一类具体的基于非局部具线性增长抛物方程的图像去噪模型,并研究该方程解的性质与该模型的去噪性能.首先,考虑到PM方程的病态性导致“阶梯”效应和“斑点”效应的缺点,以及正则化PM方程过高的正则性导致平滑图像边缘的缺点,设计了一类含非局部项的具线性增长抛物型方程,实验表明此模型兼顾了保护图像边缘与避免“阶梯”效应、“斑点”效应的优点.然后,利用建立的广义Young测度解方法结合一些先验估计证明该方程广义解的存在性.最后,对该模型进行数值模拟,并与当前许多优秀的基于偏微分方程的去噪模型进行了对比实验.实验结果表明,该模型具有出色的去噪能力.