本文研究脉冲微分方程的共振,包括如下三个问题:一、线性脉冲方程的共振和Landesman-Lazer条件下周期解的存在性二、弱非线性脉冲方程的周期解和无界解的共存现象;三、振动位势脉冲方程的周期解的多解性周期解存在的充分必要条件,周期解与无界解共存以及周期解的多解性等研究是理解脉冲微分方程的共振现象的重要途径.我们对此了解甚少.本文应用相平面分析,拓扑度,Poincaré-Birkhoff扭转定理对相关问题作了研究,得到了一些全新的结果.在第一部分,我们研究线性方程的共振现象,即讨论线性脉冲方程的周期解存在的充分必要条件.已有成果使用变分法或临界点理论讨论脉冲方程,需要把周期解或者边值问题的解转化为一个泛函的临界点,由此得到对脉冲的要求是对方程的解无脉冲,只对方程解的导数有脉冲.我们应用拓扑度框架讨论脉冲微分方程,允许方程解与解的导数都可以有脉冲.我们首先将脉冲微分方程周期解问题转化为不动点问题,再分析拓扑度框架下同伦需要满足的“先验条件”,然后得到脉冲方程周期解的存在性.我们再通过常数变易法证明当周期解不存在时所有解都是无界的.同时我们用拓扑度也讨论Landesman-Lazer条件下周期解的存在性问题.在第二部分,我们考虑弱非线性的脉冲微分方程的周期解与无界解共存问题.这是一个典型的非线性现象.我们利用后继映射估计解在两个相邻零点间所用的时间和所对应的解的导数值的差,以此检验拓扑度框架需要的“先验条件”,再利用拓扑度的性质证明方程周期解的存在性.对无界解存在性的证明主要是利用Poincaré映射去构造一个辅助的Liapunov函数使解沿着轨道无限增长,从而方程的解无界.在第三部分,我们研究脉冲微分方程周期解的多解性.首先,对于它的自治方程,到脉冲点,在脉冲的影响下,有脉冲与无脉冲的两个运动的轨迹会产生差别.对脉冲函数做一些假设,使脉冲对方程的影响不会影响无脉冲方程的一些有效的信息.再应用相平面分析考虑非自治方程的影响,把问题归结为自治方程的小扰动,找出两个方程解的轨迹之间的联系,运用Poincaré-Birkhoff扭转定理得到方程存在无穷多周期解.