众所周知，关于一些特殊序列及函数的算术性质的研究一直以来都在数论研究中占有十分重要的位置，许多著名的数论难题都与之密切相关.因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对初等数论及解析数论的发展起到重要的推动作用.著名的美籍罗马尼亚数学家Florentin Smarandache教授在其出版的名为《Only problems，Not solutions》一书中提出了105个有关数论函数和序列的问题与猜想，而日本的Kenichiro Kashihara博士也在《Comments and Topics On Smarandache Notions and Problems》一书中提出了许多与Smarandache函数有关的问题，引起了广大数论爱好者的兴趣，许多学者对此进行了比较深入的研究，并获得了不少重要的理论成果.本文基于对上述问题的兴趣，利用初等方法及解析方法研究了一些相关方面的问题，得到了一些较好的成果，具体内容及成果分为以下三个方面：　　 1.利用初等方法研究了Smarandache函数在一些特殊序列上的下界问题，得到了一些较强的下界估计.　　 2.利用初等方法、解析方法以及素数分布定理，研究了SmarandacheLCM函数与它的对偶函数的均方值分布问题，给出了这两个函数均方值的一个较强的渐近公式，得到这两个函数的一些有趣的均值分布性质.　　 3.定义了一种新的Smarandache k次幂筛选法，利用初等方法研究了筛选后数列的性质，得到了一个有趣的渐近公式.