【摘 要】
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关于二维经典的Navier-Stokes方程及Euler方程的稳定性结果已有很多研究成果.但是对于仅有垂直或水平耗散的二维Navier-Stokes方程或仅有部分阻尼的二维Euler方程的稳定性问题（靠近平凡解）仍是未知的.为此,本文主要研究具有部分耗散的不可压缩Boussinesq/MHD方程组解的稳定性和衰减性质,从而揭示浮力或磁场对流体稳定性的影响.全文共分为四章:第一章,我们首先回顾不可压
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关于二维经典的Navier-Stokes方程及Euler方程的稳定性结果已有很多研究成果.但是对于仅有垂直或水平耗散的二维Navier-Stokes方程或仅有部分阻尼的二维Euler方程的稳定性问题（靠近平凡解）仍是未知的.为此,本文主要研究具有部分耗散的不可压缩Boussinesq/MHD方程组解的稳定性和衰减性质,从而揭示浮力或磁场对流体稳定性的影响.全文共分为四章:第一章,我们首先回顾不可压缩Boussinesq/MHD方程组的物理背景及国内外的研究现状,然后阐述本文的研究动机和主要结果,最后引进证明分析过程中所需的主要数学工具.第二章,我们研究二维部分耗散的不可压Boussinesq方程的稳定性问题.我们这里考虑的是在静水平衡附近扰动的Boussinesq系统.当不考虑浮力的作用时,流体的运动方程表现为只有垂直耗散的二维Navier-Stokes方程,解的稳定性和大时间行为在全空间R2中迄今仍是未知的.本章,我们严格地证明了有浮力作用的二维Boussinesq系统解的稳定性,并利用精确的核函数估计得到了解的最优衰减速率.所得结果表明浮力对流体具有驯服作用和正则性影响.第三章,我们从数学的角度研究一个物理实验和数值模拟观测到的现象,即背景磁场对导电流体具有光滑和稳定作用.为此,我们考虑具有各向异性耗散和阻尼的二维磁流体力学（MHD）系统,并证明其在背景磁场附近扰动的稳定性.由于缺乏全耗散或阻尼,这个系统的稳定性并不显然.事实上,如果不考虑磁场的作用,流体的运动由二维部分耗散Navier-Stokes方程控制,其解的稳定性仍是一个公开问题.然而,对于只有垂直耗散,磁场带有垂直阻尼的MHD系统,我们发现背景磁场附近扰动的解在Sobolev空间H2中是整体稳定的.所得结果反映了观测到的磁场对流体的稳定效应.值得指出的是,扰动系统可化为具有额外光滑性和稳定性的波动方程.这些性质使我们能够控制各向异性Navier-Stokes方程中的非线性项,从而建立整体稳定性结果.第四章,我们研究只有部分阻尼的二维无粘MHD系统在背景磁场附近的稳定性.对于Euler方程,其解是不稳定的;而具有全阻尼的Euler方程,其解是稳定的.但对于仅有部分阻尼的Euler方程,解是否整体稳定尚不清楚.在本章中,我们发现当流体通过单方向阻尼MHD系统与磁场耦合时,解在Sobolev范数H3中是整体稳定的.为了克服阻尼缺失带来的本质困难,我们充分利用了方程的数学结构来获得一些额外的正则性.这一结果再次证实了物理实验和数值模拟观测到的磁场对流体运动具有稳定作用.
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