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本文由两个部分组成。
第一部分(即第3,4章)研究自相似集与类Moran集上双Lipschitz自映射的Lipschitz常数问题。
设A是欧氏空间的紧子集,f:A→A是一个映射.若lip(f)=Sup ｜f(x)-f(y)｜/｜x-y｜<∞,x,y∈A,x≠y则称f是一个Lipschitz映射.称f是A上的一个双Lipschitz 自同构映射,若f是一个双射且blip(f)=max{lip(f),lip(f-1)}<∞。
设K为自相似集或类Moran集.在适当的条件下,本文证明了存在常数c0>1,对任意的双Lipschitz同构f:K→K,都有blip(f)=1 或 blip(f)≥c0,这里常数c0仅依赖于分形集自身的结构.这表明自相似分形和类Moran分形上双Lipschitz自同构映射的Lipschitz常数具有“空隙”性质.特别地,对直线上的自相似集,其上双Lipschitz自同构映射的Lipschitz常数的下界,我们可以用一级基本区间的长度和间隔来刻画.对直线上的类Moran集,我们给出了其上的双Lipschitz自同构映射的Lipschitz常数下界的表达式。
本文第二部分(即第5章)研究Whitney集与有向图弧的关系.我们得到了Hausdorff维数大于1的有向图弧都是Whitney集.该结果拓广了文志英与奚李峰的工作。