一些大规模的物理过程往往在空间和时间上具有很强的局部性质,由井、裂缝、障碍、区域边界等引起的局部性质在空间上是固定的,还有一些情况下的局部性质是随着时间而变化的,如油田开发过程中的流体驱替前缘。这些物理过程都可归结为求解大型偏微分方程组。如果使用均匀的网格系统,要得到关于这类问题的较精确的解,需要使用足够小的空间步长和时间步长,这就大大增加了计算成本,从而限制了所解决的问题的规模。自1982年起,国外文献中陆续提出了解决这类问题的局部加密方法[1 5],提出的局部网格加密方法仍然使用原来的网格系统,但在需要加密的地方,即局部性质较强的区域,对网格进行加密,这样就可以在不太增加计算量的前提下,大大提高计算精度。目前,局部网格加密方法已被广泛的应用到科学工程计算领域,同时在理论研究方面,许多学者进行了大量的研究工作,提出了多种局部网格加密离散格式。　　对时空局部网格复合网格的形成,我们采用规则的局部网格加密方法[6,7]：首先在整个区域引入总的时间步长和空间步长,然后利用自适应网格加密方法或根据解的先验信息,选择一些子区域,在这些子区域上引入局部时间步长和局部空间步长,且总的时间步长和空间步长分别为局部时间步长和空间步长的整数倍,这样就形成了时空复合网格。在这种情形下的第一个问题是构造稳定和精确的近似格式,困难主要在粗细网格区域的交界面；第二,我们需要构造求解复合网格上代数系统的有效的求解方法,文献[8]中Dawson和Du基于Galerkin离散,给出了区域分解算法,[9]中Ewing、Lazarov、Pasciak和Vassilevski利用间断Galerkin方法,构造了离散格式,并利用迭代方法求解相应的复合网格系统,这部分的内容不在本文讨论范围之内,可参考文献[8 10]。　　本文针对局部网格加密方法,作了部分研究工作。首先,针对几类问题,在矩形剖分或三角剖分时空局部加密复合网格上,建立了有限差分格式,从理论上研究了离散格式的稳定性和收敛性,并通过数值试验验证了理论分析结果；然后,把局部加密方法应用到多轮次调剖数值模拟器中,通过数值模拟结果证实了局部网格加密方法的有效性。这些研究结果对于油气资源的勘探、开发,环境科学的数值模拟和计算,以及半导体器件问题的数值模拟,均具有重要的理论和实用价值[11 13]。　　全文共分三章。　　本文第一章,研究了半导体器件问题,提出了在矩形剖分时空局部加密复合网