【摘 要】
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本文对非线性波方程的精确解算法进行了分析,设计了几类机械化算法,并编写了程序包在计算机上实现．还提出了几种非线性波方程数值解的新方法,用这些新方法求解了许多物理和力
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本文对非线性波方程的精确解算法进行了分析,设计了几类机械化算法,并编写了程序包在计算机上实现．还提出了几种非线性波方程数值解的新方法,用这些新方法求解了许多物理和力学中非常重要的非线性波方程,得到了许多新结果．论文共分五章． 第一章,概述非线性波发展的背景,数学机械化与计算机代数以及非线性波方程求解的研究概况． 第二章,简要介绍求解PDEs的“AC=BD”模式以及C-D可积系统的定义和基本理论．本文把其理论应用在非线性波方程求解中,并从反问题出发,构造出一个新的“C-D对”和Darboux变换，利用非线性波方程的一个解及其Lax对的解,用代数算法及微分算法来求非线性波方程的新解和Lax对相应的解。 第三章,基于代数化、算法化、机械化的指导思想,运用吴方法和符号计算等工具,考虑了非线性波方程精确解的构造．以构造性变换为工具,来研究非线性波方程求解算法以及算法实现．主要对Jacobi椭圆函数展开方法的两类推广,设计算法并利用其求解非线性波方程,得到若干类精确解．通过引入Riccati方程,利用求非线性波方程的广义Tanh函数方法,基于计算机代数系统Mathematica开发了广义Tanh函数法的软件包AGTH.m,使得复杂的代数运算可以在计算机上完成并直接输出所要求的解． 第四章,首先用模拟守恒能量来构造非线性波广义KdV方程的差分格式,然后改进著名的Petrov-Galerkin法,给出了修正的Petrov-Galerkin方法,利用其研究了广义KdV方程,并进行了数值实验,数值结果表明该方法是有效的． 第五章,利用差分法研究了二阶非线性波广义Sine-Gordon方程的数值解,给出了广义差分格式解的存在性并进行了误差分析．
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