在自然界中存在着许多比较复杂的非线性动力学问题,并且对于描述非线性动力学系统、耗散动力学系统,哈密顿系统的幂函数形式对比于此系统的传统形式有着显著的优点,并且在解决相对复杂的非线性问题时,应用哈密顿方程的幂函数形式能够使问题得到简化、便于计算。是以,哈密顿方程的幂函数形式具有很重要的研究意义。本文研究一种幂函数形式的哈密顿方程,即幂律哈密顿方程,探究其形式、性质与应用,并且进一步研究了幂律哈密顿动力学系统的对称性与守恒量。1.本文首先定义了幂律哈密顿作用量,然后利用哈密顿原理以及等时变分的方法得到了一般情况下的幂律哈密顿方程,此方程最大的特点就是具有可调参数?,通过调节?的取值能够得到物体不同的运动轨迹。幂律哈密顿方程的方程式比较复杂,然而当其处于某个特定约束情况下,幂律哈密顿方程能够还原为标准形式也可以叫做传统形式或自然形式,并且当其处于不同的约束状态下时,能够得到不同形式的方程。本文进一步得到了当其处于不同的约束条件下时,幂律哈密顿方程具有的一些独特的性质,当其所对应的函数不含时间时此函数并不总是守恒的,若此函数要保持守恒则需满足一定的约束条件,此道理同样适用于广义动量,若其所对应的广义坐标没有出现在此函数中,那么该动量除了在某个特定条件下之外就不可能是守恒的。本文还介绍了幂律哈密顿方程的一部分例题,在这些应用例题中验证了本文所得到的关于此方程所对应函数的性质是正确的。2.本文以幂律哈密顿动力学系统的Noether对称性与守恒量作为理论基础,首先建立此系统的Killing方程,并且运用Killing方程来解决一些运用Noether对称性判据与Noether定理不能解决的问题。其次,在前面研究的基础上给出基于幂律哈密顿函数的动力学系统的Lie对称性,并给出证明,最后通过算例加以验证。本文所得到的幂律哈密顿方程具有非常好的理论性及应用,此方程在处理问题时能够使过程得到简化,并且得到的结果也是简单易懂的,所以此方程具有广泛的应用前景,并且其应用值得更加深入探索,值得扩展延伸。