本文主要运用变分方法研究全空间上两类带深势阱的椭圆型方程解的存在性与多解性问题.第一类是带有不定非线性项的Kirchhoff型方程,最初这类方程源自于弹性力学领域,用来描述弹性弦的微小振动,目前也较多用于流体力学领域中对理想流体中刚体运动的描述.第二类是带有奇异权函数项的双调和方程,常用于薄膜结构对外力产生弹性反应的建模.研究这些方程对弹性理论和斯托克斯流运动的求解有着重要的意义,本文旨在探究上述两类方程在不同维度、不同参数下解的存在性和多解性.本文的主体共分为五个部分.第一章概述了两类方程的研究背景和意义,以及相关研究现状和前沿进展,全面概括了本研究的创新点,并介绍了所需的预备知识,和后续章节的结构安排.在第二、三、四章中,我们考虑以下带有不定非线性项的非局部的Kirchhoff型方程,其中M（t）=at+b,（a,b＞0）,势函数V（x）是全空间RN上的非负函数,方程的右端同时包含了超线性项Q（x）|u|p-2u和线性项λf（x）u,且{f＞0}∩Ω和{Q＞0}∩ Ω都具有有限的勒贝格测度,权函数Q（x）∈L∞（RN）在有界域Ω:={V（x）=0,x∈RN}上是变号的.u（x）表示位移,b是初始张力,而a与弦的固有特性（例如杨氏模量）有关,方程右端代表外力作用.接下来我们对方程（Eμ,λ）在不同维度N和不同参数p,λ,a,μ下解的存在性与多解性进行详细讨论.第二章,我们研究了当N=3,且4＜p＜6时方程（Eμ,λ）解的存在性,得到了如下结论:（ⅰ）对任意a＞0,0＜λ＜λ1（fΩ）,方程存在一个正解;（ⅱ）如果条件∫ΩQφ1pdx＜0成立,μ＞0充分大,λ1（fΩ）≤λ并且λ充分靠近λ1（fΩ）时,方程（Eμ,λ）至少存在两个正解,其中λ1（fΩ）是右端带有权函数fΩ:=f|Ω的-△算子方程在H01（Ω）上的最小正实特征值,它对应的正主特征函数称为φ1.最后,我们绘制了展示正解的存在性与多解性的分支图,对方程的多解性结果做了直观地展示.第三章,我们研究了当N=3,且p=4时方程（Eμ,λ）正解的存在性与不存在性,主要得到了如下结论:（ⅰ）若0＜a＜r0且0＜λ＜λ1（fΩ）,当μ＞0充分大时,方程（Eμ,λ）存在一个正解;（ⅱ）若Γ0＜∞,对任意的a ≥ r0以及0＜λ＜λ1（fΩ）,μ＞0充分大时,方程（Eμ,λ）不存在非平凡解;（ⅲ）如果r0＜∞,a＞r0,且λ≥λ1（fΩ）,μ＞0充分大时,方程（Eμ,λ）存在一个正解.此外我们还证明了多解性结果:（ⅳ）若a＜Γ0且a足够靠近Γ0,μ＞0充分大,λ1（fΩ）≤ λ且λ足够靠近λ1（fΩ）时,方程（Eμ,λ）存在两个正解uμ-和uμ+.最后,我们绘制了正解的存在性与不存在性的分支图.第四章,我们研究了当N＞3,且2＜p＜min{4,2*}时方程（Eμ,λ）正解的存在性与不存在性.参数p的变化导致Palais-Smale序列不再具有有界性,因此我们采取了新的限制流形的方法克服这种困难.本章主要证明了:（ⅰ）当μ＞0充分大时,方程（Eμ,λ）在（1）0＜a＜Γ0且0＜λ＜λ1（fΩ）;（2）λ≥λ1（fΩ）这两种情况下均存在一个正解;（ⅱ）若0＜a＜a0,0＜λ＜[1-2[（4-p）/4]2/p]λ1（fΩ）,且μ＞0充分大时,存在两个正解.以及如下情形中解的不存在性:（ⅲ）若0＜λ＜λ1（fΩ）,a充分大,且μ＞0充分大时,方程不存在非平凡解.最后,我们同样绘制了正解的存在性与不存在性的分支图.在第五章,我们研究了如下的带有奇异权函数的双调和方程:其中 N ≥ 3,△2u=△（△u）,△pu=div（|▽u|p-2▽u）,参数β≥ 0,2＜p,q＜N2并且Vλ（x）=λa（x）-b（x）,其中λ＞0.在对a,b和f一些合适的假设下,对充分大的λ我们获得了非平凡解的存在性和多解性结果.值得注意的是,本部分的证明过程中不要求权函数f在整个空间RN上具有可积或者有界的条件.