图谱理论是代数图论中一个重要课题.利用图的特征值来研究图的结构性质是图谱理论的核心内容,经过几十年的发展已形成系统、成熟的理论.已有许多专著出版[5,8,9].　　 图的邻接谱在化学上一个主要应用是非饱和碳氢理论,即Hǖckel分子轨道理论.　　 Fiedler[20]用图的次小Laplacian特征值(代数连通度)来描述图的连通问题.并且由于Laplacian矩阵是黎曼流形上的Laplacian算子在图上的离散形式,Laplacian矩阵受到广泛研究.　　 文献[85,86]中说明:相比邻接矩阵和Laplacian矩阵,无符号Laplacian矩阵具有较小的谱不确定性.图的无号Laplacian与图的线图的邻接矩阵紧密关联.这都引发研究者的兴趣.　　 用图形表示DNA是一个新颖方法,随之用数值刻画所选的几何对象-DNA的表示(矩阵)的特点.研究矩阵及其子矩阵的谱性质对DNA序列具有重要作用.　　 本文研究结果如下:　　 1.解决了一般κ-圈低能图的存在性.证明了存在阶数n≥7的单圈,阶数n≥8的双圈低能图,并给出了它们的构造.证明了存在最大度((n+3)/2)≤△≤n-1的三圈图,及某些完全二部图和带有悬挂点的完全二部图是低能图.并给出了一个构造低能图的一般方法,这意味着对于任意正整数κ存在一般的κ-圈低能图.　　 2.推进了谱半径λ1的开放问题研究.通过研究图的Perron向量,证明了Ⅰ-a-型图和Ⅰ-b-型(对应地Ⅱ-a-型)具有特定性质的图不是λ1极图.进一步推进了非正则图的谱半径λ1的极图问题研究.给出了一些关于最大度△与谱半径λ1的差的下界.　　 3.获得了Laplacian谱展的新结果.给出了Laplacian谱展的一些界,并用Laplacian谱展给出几个Nordhaus-Gaddum型的Laplacian特征值的改进.对于连通的具有n个顶点、谱展n-1的c-圈图进行讨论.取得整的、相等的Laplacian谱展的结果,并利用商矩阵给出了正则图的Laplacian谱展的界；同时考虑了给定阶数连通图的最大Laplacian谱展问题.对于特殊的图类,我们找出了给定阶数的单圈图的最小Laplacian谱展和极图.研究了Laplacian谱比的界,并改进了一个关于正则图的Laplacian谱比的关系.特别地,我们获得了给定阶数的Laplacian谱比的前二小值,也考虑了一些关于Laplacian谱比的图操作.关于图的LEL能量,我们给出了Nordhaus-Gaddum型的界.　　 4.确定了无号Laplacian谱隙的若干极值.决定了给定阶数的单圈图的无号Laplacian谱展的最小值和极图.研究了给定阶数的单圈、双圈,三圈图的无号Laplacian谱隙的最大值和极图.　　 5.研究了线距离的谱性质问题.类似于图能量,我们给出了DNA序列决定的线距离矩阵的能量的界及线距离矩阵谱展的界,证明了其谱展也有类似图与其子图谱展的关系.同时,我们给出几个线距离矩阵的Estrada指数的界.