本文主要考虑动力系统的随机稳定性.我们知道，当用一个确定性系统去模拟一个实际问题的演化时，判断这个模型可靠性的标准之一就是它在小的随机扰动下的稳定性，因为实际情形中一个系统总会受到外界的干扰，而这些干扰往往有很大的不确定性，因此可被认为是随机的.第一篇涉及动力系统在随机扰动下稳定性问题的文章[37]发表于1933年，但直到上世纪60年代这个问题才真正引起人们的关注.那个时候人们只是研究具有简单动力学性质的动力系统的随机扰动（参考[17]，[52]），但仅在上世纪70年代一些有趣的、具有复杂（混沌）动力学行为的系统开始进入人们的视线（参考[20]）.关于具有简单动力学性质的系统在扩散扰动下的各种概率方面的结果请读者参见[12].更多这个方面的相关课题及进展读者可以参考Kifer[18]，Arnold[1]以及Liu[26]。　　 在确定性动力系统的光滑遍历理论中，可微映射的所有不变测度中，Sinai-Ruelle-Bowen（SRB）测度被认为是具有物理意义的，对其存在性以及相关性质的研究构成最有意义的课题之一.SRB测度反映一个现实系统的统计学性质，因此研究这个测度对系统的依赖性有很重要的物理意义（Ruelle[42]）.关于微分同胚的SRB测度的随机稳定性读者可以参考Cowieson和Young[11].而SRB测度关于系统在确定性扰动下的可微性及其导数，公理A微分同胚情形的结果可见[42]，[43]，公理A流情形的结果见[50]。　　 本文包含四个章节，其中前两章主要是证明双曲集在C0随机扰动下的结构半稳定性.第一章处理离散时间动力系统，也就是微分同胚的情形.考虑一个C1微分同胚的双曲集受到非自治同胚形式的C0小扰动，我们证明在这种扰动下双曲集是半稳定的.由于C0扰动的要求远弱于C1扰动，因此上述结果相对于C1扰动的稳定性有更显著的现实意义.进一步，如果我们给这种扰动附以一个合理的概率结构，则可以将其看作是一个随机动力系统，由随机动力系统的光滑遍历理论以及前面得到的半稳定性我们知道，原来系统在其双曲集上的拓扑熵在这种同胚形式的扰动下是不会减少的.对应地，第二章主要处理连续时间动力系统.我们证明一个C1向量场在C0随机扰动下，在其双曲集上有轨道半稳定性.确切地讲，设M是一个光滑无边黎曼流形，O是M一个具有紧致闭包的开子集，X是O上一个C1向量场。考虑一个可测动力系统（）（实噪音）上的随机微分方程　　 其中（）是O上一族有界Lipschitz连续向量场，且y（ω，χ）关于（ω，χ）可测。如果假设Λ是x的一个双曲集，f是由x生成的局部流，由我们的结论知，当‖Y‖充分小时，对任意χ∈Λ，ω∈Ω，至少有一个随机微分方程的解的轨道和f从χ出发的轨道（）始终都很接近，且保持相同的流向，但是可能存在一个时间差（由一个时间变换来实现）。　　 在接下来的两章中我们主要研究一些动力系统的SRB测度相对随机小扰动的稳定性。　　 作为复杂动力系统的一个相对简单但又足够混沌的模型，solenoidal吸引子已经得到人们的很多关注（例如Tsujii[51]，Avila et al[2]，以及其中的相关参考文献）。　　 第三章中我们考虑一类一般的不可逆映射的类solenoid吸引子.我们证明SRB测度的存在性，以及它们在i.i.d.（独立同分布）随机映射扰动下的稳定性.并且在一个拓扑传递条件下，我们还得到SRB测度和随机扰动对应的Markov过程的平稳测度的唯一性。　　 第四章研究具有拓扑混合性质的双曲吸引子的SRB测度关于随机扰动的线性响应公式.我们首先考虑随机符号动力系统，构造其上一类随机Holder连续函数的Gibbs态，建立相应的平衡态理论.然后运用相关结论以及随机扰动系统与符号动力系统的半共轭关系（具体参考[8]和[28]），我们得到SRB测度相对随机扰动的可微性及其导数。