本文隶属于Lp-Brunn-Minkowski理论，该领域是近十几年来在国际上发展非常迅速而重要的一个几何学分支.本学位论文首先简述了其所属学科的发展历程和研究现状，主要的代表人物以及我国数学家的工作；接着研究了Lp空间中凸几何分析的一些极值问题，利用凸几何分析中的Lp-Brunn-Minkowski理论的基本概念，基本知识和解析不等式理论，研究了凸体和星体的极值问题和相关的不等式问题。 本文的研究工作主要分为两个方面： 第一部分，研究了Firey Lp组合和Lp调和径向组合。我们推广对偶均质积分和Lp对偶混合体积的概念。提出了Lp混合均质积分的Lp对偶混合均质积分的概念，进而给出了Lp调和径向组合的Brunn-Minkowski不等式和Lp对偶混合均质积分的Minkowski不等式。 第二部分，研究了一些不等式的等价性。我们发现Lp调和径向组合的Brunn-Minkowski不等式与Lp对偶混合均质积分的Minkowski不等式是等价的。作为特殊情形的调和Lp组合的对偶Brunn-Minkowski不等式与Lp对偶Minkowski不等式是等价的，调和线性组合的Brunn-Minkowski不等式与新对偶Minkowski不等式也是等价的。