本文研究基于梯度重构的后验误差估计和相应的自适应有限元方法．我们首先研究网格对超收敛的影响．超收敛是获得高精度有限元解的重要工具之一，随着超收敛在后验误差估计和自适应有限元方法中的作用被人们所认识，超收敛重新受到了人们的青睐．但是经典的超收敛结果一般都要求网格满足一定的强条件，而网格自适应加密则会破坏这些强条件，这就制约了超收敛在自适应方法中的应用．我们不对有限元网格做任何前提假定，通过研究网格的几何性质，提炼出可直接计算的网格几何参数，将误差估计化为标准的收敛阶与网格几何参数的乘积形式，由网格几何参数就可判断此网格上有限元解与有限元插值之间是否具有超收敛现象．数值结果表明给出的几何参数能够比较精确的反映网格质量对超收敛阶的贡献．梯度重构是一种重要的后处理方法，一方面，它根据有限元解重新构造高精度的梯度逼近．另一方面，重构的梯度可以用来估计误差，构造重构型后验误差估计来指导网格的自适应加密．基于梯度重构的后验误差估计精度高，实现简单且是鲁棒的，因此被工程中广泛应用．我们提出了超收敛点团恢复方法(SCR)，SCR利用样本点处的函数值信息最小二乘拟合一个线性函数，这个线性函数的梯度就定义为重构点的梯度．SCR是一个超收敛的梯度重构方法，可以构造后验误差估计，给出了数值算例来说明SCR的有效性．我们还提出了面积调和平均、距离调和平均、角度平均等梯度重构的加权平均方法，分析并比较了新的加权平均格式与简单平均和面积平均的优劣性．对一维问题和矩形元，面积调和平均是超收敛的梯度重构方法，对三角形元，从数值上说明新的加权平均方法可以改进梯度逼近．我们还研究了DG有限元的界面法向导数的重构，提出了局部L~2投影恢复方法．对m(m≤4)次分片多项式，根据L~2投影，在界面相邻子区域内构造一相同次数(最低一次)的多项式，该多项式在界面处的法向导数就定义为重构的界面法向导数．给出了相应的数值通量格式，对得到的数值通量格式做适当的修正，可得适用于高次元的数值通量格式，并将其应用到DDG方法去求解椭圆偏微分方程．给出了一维和二维的数值算例，数值结果说明L~2投影恢复方法的有效性．我们还将新的梯度重构方法应用到后验误差估计，并结合自适应有限元方法去求解椭圆方程．数值实验表明新的后验误差估计都是有效的、可信的和渐近准确的．我们还考虑椭圆分布式控制问题的自适应算法，对积分约束控制问题，由于解的正则性较好，采用谱方法离散，得到了其先验误差估计和后验误差估计．对障碍约束控制问题，采用自适应有限元离散，给出了两种重构型后验误差估计，并给出了数值算例，数值结果说明了后验误差估计和自适应算法的有效性．