小波分析理论和再生核理论都是数学的重要分支。在自然界中许多物理现象都可以用微分方程来描述，一般微分方程没有解析解，所以讨论方程的数值解就显得尤为重要。该文分别应用小波分析理论和再生核理论对微分方程的求解和解空间的问题进行了研究。主要做了以下工作： 一方面，该文应用小波分析理论结合Galerkin方法讨论了某一类二阶变系数微分方程的求解问题。首先，将Littlewood-paley小波基引入到Galerkin方法中。对于L2(R)上的Littlewood-paley正交小波基进行“折叠”映射，使得折叠小波基为L2[0，1]的标准正交基。其次，证明Littlewood-paley折叠小波基满足该微分方程的边值条件。最后，运用Galerkin方法在小波子空间中得到微分方程的数值解。该文利用Wavelet-Galerkin方法求解微分方程，这为讨论微分方程的数值解问题提出了新的研究思路。 另一方面，该文又应用再生核空间理论的特殊技巧，讨论了波动方程解空间的问题。首先，针对二阶波动方程的解，构造再生核。其次，证明了二阶波动方程的解空间构成再生核空间H1[0，+∞)。然后，证明这个二阶波动方程的解具有反演公式及等距恒等式。最后，讨论了二阶波动方程在更一般的边值条件下的解空间，证明了该方程的解空间也为一个再生核空间。有趣的是，这两个再生核空间的再生核具有相关性。该文的研究拓宽了再生核理论的适用范围，为波动方程的求解问题提供了新的框架。