【摘 要】
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对于纷繁复杂的物理现象,如流体力学、电磁散射、相变等等,学者们常常利用微分方程进行建模,再通过数值方法模拟出物理现象的演变过程.为了确保数值方法的可靠性,基于“问题原型的基本特征在离散后应该尽可能地得到保持”的原则,无论是守恒系统、耗散系统还是随机系统,数值格式都应该保持演化系统中的不变特性,因此保结构算法始终是数值计算领域的研究热点之一.在保结构思想的驱动下,本文针对带随机噪声、阻尼耗散、驱动补
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对于纷繁复杂的物理现象,如流体力学、电磁散射、相变等等,学者们常常利用微分方程进行建模,再通过数值方法模拟出物理现象的演变过程.为了确保数值方法的可靠性,基于“问题原型的基本特征在离散后应该尽可能地得到保持”的原则,无论是守恒系统、耗散系统还是随机系统,数值格式都应该保持演化系统中的不变特性,因此保结构算法始终是数值计算领域的研究热点之一.在保结构思想的驱动下,本文针对带随机噪声、阻尼耗散、驱动补偿的系统以及守恒系统等多种情况分别构造了保结构数值格式,同时进行了理论分析与数值模拟,具体内容如下:1.针对加性噪声驱动的带阻尼项随机Klein-Gordon方程,证明得出方程满足随机共形多辛守恒律、全局动量演化律和全局能量演化律,进而构造了随机共形Preissman格式、随机共形离散梯度格式和随机共形Euler箱格式.理论分析和数值实验充分体现了提出格式在保持系统守恒律或演化律方面的优越性.同时,对提出格式在时间和空间的均方收敛阶进行了测试.2.针对乘性噪声驱动的带阻尼-驱动项随机非线性Schr（?）dinger方程,证明了随机多共形辛守恒律和全局/局部电荷量守恒律.将指数型差分方法与辛Euler方法、隐式中点方法和Fourier拟谱方法相结合,构造出三类满足相应离散守恒律的随机共形保结构数值格式.数值结果验证了提出格式的保结构特性,同时也体现了共形算法在非守恒系统模拟中的优势.3.针对二维随机非线性Schr（?）dinger方程和二维随机Klein-Gordon方程,分别证明了全局动量守恒律和全局动量演化律.基于随机多辛形式和平均向量场思想,构造了保持全局动量或其变化趋势的随机保动量数值格式.理论分析和数值结果均充分体现了提出格式在数值模拟中的有效性以及在保持全局动量方面的优越性.4.基于哈密顿边值方法、Fourier拟谱方法和高阶紧致差分方法,针对耦合非线性Schr（?）dinger方程构造了两类高阶保能量数值格式.在一定条件下,提出格式能够精确保持系统能量,并在时间方向达到偶数阶精度.数值结果充分说明了提出格式具有高精度、保能量和长时间数值计算的特性.
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