近半个多世纪以来,随着计算机科学的飞速发展,数值分析和数值计算逐渐成为科学与工程领域中研究流体运动的重要手段,并且逐步形成了一个新兴学科—计算流体动力学(Computational Fluid Dynamics，CFD)。不可压缩Naiver-Stokes(N-S)方程是计算流体力学研究的一个重要问题,它是一类描述粘性不可压缩流体运动规律的非线性方程组,在科学和工程领域有着广泛的应用。然而,由于N-S方程的非线性性,特别是在大雷诺数情况下,数学理论研究和数值计算都显得比较困难。　　直接数值模拟(Direct Numerical Simulation，DNS)求解N-S方程,为了足以捕捉流场的小尺度信息,往往要求网格尺度足够小(h≈Re?3/4,3D)。随着雷诺数的增大,对计算机存储空间的要求迅速增长,同时也导致计算规模和计算时间急剧增加。即使在计算机技术高度发展的今天,直接数值模拟求解大雷诺数的N-S方程仍然是一个非常大的挑战。另一方面,根据流场分解理论,流场一般可分解为可解析大尺度、可解析小尺度和不可解析小尺度。基于适当的剖分网格(h?Re?3/4),可解析尺度可以被网格上标准有限元空间所刻画。如何模拟不可解析小尺度对可解析尺度的影响,则是构造新的求解大雷诺数的N-S方程数值方法的关键。变分多尺度方法(Variational Multiscale Method，VMS)的主要思想是把标准有限元空间看作可解析尺度空间,将标准有限元空间投影到一个适当的空间看作它的大尺度空间,通过构造一个依赖可解析小尺度的模型,来模拟不可解析小尺度对可解析尺度的作用。基于变分多尺度方法,本文做了以下几个方面的改进和发展?:　　一,关于定常N-S方程,提出了变分多尺度方法的Newton迭代的一般格式,并给出了相关的收敛性分析。同时,讨论了变分多尺度方法的两种特殊的迭代格式:显式投影变分多尺度方法和隐式投影变分多尺度方法。对两种变分多尺度方法的收敛条件和收敛速度进行了理论分析和数值模拟。　　二,提出了基于两局部高斯积分的变分多尺度方法(GVMS)。该方法与经典变分多尺度方法区别在于:基于Taylor-Hood有限元对,利用局部单元上的两种不同精度的高斯积分的残差,来替代可解析尺度空间到可解析小尺度空间的投影,在局部单元上进行稳定化操作,不引进新的变量,不增加额外存储空间,保持了经典变分多尺度方法(CVMS)的稳定性和有效性。同时,在理论上证明了两种变分多尺度方法之间的等价性,并且通过矩阵分析和数值模拟讨论了两者的异同。　　三,将变分多尺度方法与网格自适应技术相结合来处理定常N-S方程,在保持变分多尺度方法处理大雷数问题有效性的基础上,实现网格的优化,从而构造了更为高效的自适应变分多尺度方法。与传统自适应方法不同,基于变分多尺度方法的思想,利用误差与不可解析小尺度之间的等价性,以及可解析小尺度对不可解析小尺度的控制,提出了基于可解析小尺度的投影误差估计子。特别地,在基于两局部高斯积分的变分多尺度方法(GVMS)基础上,构造了基于两局部高斯积分的误差估计子及其自适应变分多尺度方法。　　四,提出了基于投影基函数的变分多尺度方法(VMSPBF)。经典变分多尺度方法需要引进较大的能量耗散(人工粘性项),而基于投影基函数的变分多尺度方法最大的特点是,构造单元上的局部投影基函数,只引进微小的额外计算量,在不增加额外存储空间基础上,保持了经典变分多尺度方法的稳定性和有效性。无论外力项改变或Newton迭代的推进,在全局网格不变情况下,一般只需构造一次投影基函数,循环使用,且可以并行处理。由于局部求解投影基函数时,网格可以自由选择,使得我们可以调控人为引进的能量耗散。于是,我们进一步提出了基于自适应投影基函数的变分多尺度方法(VMSPBFAdap),基于可解析小尺度的投影估计子,选择适当的参数,在合理的局部网格下构造投影基函数。