全文共分四章。 第一章，对热传导方程提出一类修正的并行加性Schwarz有限差分方法，或称为修正的并行子空间校正有限差分算法(MPFDs)。算法基于区域分解和子区域校正，通过引入单位分解函数，合理地分配重叠部分的校正量。算法在每个子区域上分别进行残量修正，各子域之间的计算可以并行。理论分析表明，在每一时间步，只需校正一次或两次，即可达到最优的收敛阶。数值试验验证了算法的有效性和优越性。§1.1给出热传导方程模型问题及其最常用的向后Euler和中心差分两种隐式有限差分格式；§1.2.1建立重叠型区域分解的基本框架，并给出经典的并行加性Schwarz算法(CPFDs)，§1.2.2引入单位分解函数，构造出相应修正的并行加性Schwarz有限差分算法：§1:3和§1.4分别讨论了两种修正并行算法收敛性分析，引入新的内积和范数，给出算法的l<2>模误差估计；§1.5给出数值算例，对fMPFDs)和(CPFDs)两类算法做了对比，分析了收敛率对离散参数，迭代次数及重叠长度的依赖性。本章结果已经在《山东大学学报》(理学版)，《AppliedMathematics and Computation》，《高校计算数学学报》等刊物上发表或接受。 第二章，在上一章的基础上对抛物方程提出一类具有界面修正的并行有限差分方法(IPFDs)。算法利用外推法的思想，在每一时伺层上更精确地预估内边界的初始值，从而使得并行算法在每一时间层上只需迭代一次即可达到收敛的最优阶。§2．1．1对热传导方程的两类常用差分格式进行改造，提出具有界面修正的有限差分并行算法，§2．1．2给出了两种算法的L<2>模误差估计，得到最优的收敛阶误差结果。§2．1．3通过数值算例验证了算法的稳定性，分析了收敛率对离散参数和重叠长度的依赖性。§2．2将这种方法推广到一般的二维抛物方程。§2．2．1给出问题的模型和一些基本记号，§2.2.2提出了具有界面修正的二维区域分解并行差分算法，在两个方向上同时进行区域分解和子区域校正，使得算法更具有一般意义。§2.2.3通过数值算例分析了收敛率对离散参数的依赖性，验证了算法的收敛性，稳定性和高效性。本章主要结果已投稿刊物。 第三章，对抛物方程提出一类建立在内边界预估校正基础上的非重叠型区域分解有限差分方法(NIPFDs)和有限元方法(NIPFEs)。我们在内边界面上避开显格式，而是利用前几个时间层的值的线性组合作为实现各子区域中的并行计算所需的内边界条件，同时使得差分格式在内边界面附近的截断误差与子区域内部的截断误差保持一致，并将稳定性条件减弱为T=O(h<2>)。§3.1研究了抛物方程建立在内边界预估校正基础上的非重叠型区域分解有限差分方法(NIPFDs)。§3.1．1给出抛物方程模型问题及其两类常用的有限差分隐格式。§3．1．2对这两种格式进行改造，提出具有内边界预估校正的非重叠型区域分解有限差分方法。§3．1．3给出了这两种算法的收敛性分析，得到最优的l<2>模误差估计。§3．2研究了抛物方程建立在内边界预估校正基础上的非重叠型区域分解有限元方法(NIPFEs)。§3．2．1给出抛物方程模型问题及其两类常用的时间离散的有限元格式。§3．2．2对这两种格式进行改造，提出具有内边界预估校正的非重叠型区域分解有限元方法。§3．2．3给出了这两种算法的收敛性分析，得到最优的L<2>模误差估计。§3．3通过数值算例验证了算法的收敛性，稳定性和有效性，分析了收敛率对离散参数的依赖性。本章主要结果已投稿刊物。 第四章，研究了双曲型波动方程的区域分解有限差分方法和有限元方法。波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程，它在物理、化学、生物等不同领域都有非常重要的意义。已有大量文献研究双曲问题的有限差分方法和有限元方法[53, 54，55，56，57]。对于一阶双曲型方程，适于并行计算的差分方法已经很多<[58，59，74]>，但对于二阶双曲型方程，这方面的文献尚不多<[60，61]>。本章我们将前面提出的几类区域分解方法应用于波动方程，得到波动方程的几类区域分解并行算法。§4．1给出模型问题和一些基本知识。§4．2研究了波动方程修正的并行加性Schwarz有限差分方法，给出了算法描述，误差分析和数值算例。在此基础之上，§4．3研究了波动方程具有界面修正的并行有限差分方法，使得算法在每一时间层上只需迭代一次即可，收敛性分析和数值算例均证实了此点。§4.4研究了波动方程建立在内边界预估校正基础上的非重叠型区域分解有限差分方法和有限元方法。给出了算法描述和二维数值算例。本章部分结果已经在《山东大学学报》(理学版)上发表。论文中提到的参数C，无论有无下标，都代表一般的正数。它的值因地而异，但都与空间网格步长h和时间步长T无关，这将在以后提到。