线性保持问题是矩阵论研究领域中一个重要的课题,刻画矩阵集之间保持某些函数、子集、关系、变换等不变量的线性算子的问题被称为“线性保持问题”。近几十年来,保持问题已成为国际矩阵论研究中一个十分活跃的领域。这一方面是因为它具有重要的理论价值,另一方面,是因为它在量子力学、微分几何、微分方程、系统控制和数理统计等领域有着广泛的实际应用背景。从映射的角度来说,保持问题可分为:线性保持问题、加法保持问题和一般的保持问题。从保持的不变量的角度来说,保持问题可分为:保持子集、保持关系、保持函数和保持变换。　　本文在介绍保持问题的发展概况之后,着重研究了域上矩阵空间保立方幂等、保群逆和保交换的问题,得到了以下结论：⑴刻画了特征不为2和3的域上2阶上三角矩阵空间保立方幂等和保群逆的线性映射；⑵刻画了三元域上2阶对称矩阵空间保立方幂等且保秩的加法映射；⑶刻画了域上2阶全矩阵空间保交换的加法映射。