Helmholtz方程是研究时间调和声波散射问题的一个重要方程，它在雷达、声纳、地理探测、医疗成像和非破坏性试验等方面有着极其广泛的应用.将微分方程的数值计算问题化为积分方程的计算问题是微分方程数值计算最重要的途径之一.特别对于无界域问题，由于解在无穷远处都要满足散射条件，而将微分方程转化为积分方程进行计算，不仅可以将问题的维数降低一维，而且能够将无界域上的问题转化为有界域上的问题，这便是边界积分方程方法比有限元法和有限差分法优越的原因.本论文主要考虑Helmholtz方程在一些比较典型的无界域问题的数值解，即在一般外区域的Dirichlet问题、波导区域中的Dirichlet问题、上半平面的第三边值问题的数值解.为了解决上述问题，我们首先应用位势理论把它们分别转化为第二类积分方程，然后利用Galerkin方法、配置法和sinc数值方法来分别求解所对应的积分方程.此外，我们还考虑了Paley-Wiener空间中的非均匀采样问题.具体来说： 1.为达到矩阵压缩的目的，我们需要引进两类小波：插值型三角小波和正交型三角小波，这两类小波的尺度函数空间Vj和小波空间Wj都是分别由一个函数的平移所张成，并且尺度函数和小波函数都有显式表达式.此外，插值型三角小波满足一些插值性质，而正交型三角小波是彼此正交的，这为用配置法和Galerkin法解积分方程提供了两类比较好的基底. 2.对于Helmholtz方程在一般外区域Dirichlet问题.我们首先利用位势理论把该问题归结为解一个第二类Fredholm积分方程，然后用Galerkin方法和正交型三角小波的多尺度基底对这一问题进行求解.不要求在Nystr(o)m方法中的比较强的条件下，即边界曲线和边值条件都是解析的，而只要求在边界曲线属于C3而边值条件的已知函数只要求属于C1条件下，我们就得到了一种矩阵压缩策略，从而得到了一个很稀疏的系数矩阵，其中系数矩阵的元素大部分不需要计算且为零，实现了快速算法.并且给出了压缩矩阵的复杂性和条件数分析以及该算法的收敛率性和稳定性分析.所得到截断后的一个2j+1×2j+1矩阵的复杂度，即非零元素的个数只有(.j+1).2j+2个，压缩后的系数矩阵的条件数是一致有界的，即条件数与j无关.而通过矩阵压缩后的快速算法的收敛速度为O(j2/21/2)(j→∞).此外，我们截断的方法简单而具体. 3.关于波导区域中的Helmholtz方程Dirichlet问题.我们同样用位势理论先把该问题转化为解一个第二类Fredho1m积分方程，然后用配置法和插值型三角小波求解该积分方程.我们所得到的刚度矩阵有一半可以截断，而截断后的元素的值独立于核函数KN(θ，η)的截断项数N和Helmholtz方程中的波动数k.这样，我们得到了另外一种意义下的快速算法，即该问题中的波动数k和核函数KN(θ，η)的截断项数N变化时，刚度矩阵有一半元素不需要重新计算，这样我们得到了若因k和N变化的快速算法. 4.我们利用sinc数值方法来求解上半平面的Helmholtz方程第三边值问题的数值解.首先我们给出了该问题的解的存在性和唯一性的证明，然后用Huygens积分公式和位势理论把问题归化为主要求解一个第二类积分方程的数值解.通过利用多值解析函数围道积分方法来把Shannon-Whittaker定理推广到多值解析函数的情况，利用此结论我们得到了该积分方程的数值解，并且该方法十分简单——不需要解线性方程组，从而避免了复杂的矩阵运算所带来的麻烦. 5.在本论文的最后，我们主要考虑改进经典Paley-Wiener空间中的非均匀采样问题的一种方法，即Voronoi方法.Voronoi方法是一种收敛速度比较快的方法，因而改进这种方法具有重要的意义.我们主要有两方面的工作：一是解决Voronoi方法中重构函数不光滑的问题，即找到一C∞函数类{bn：n∈Z}代替Voronoi方法中特征函数类{xn：n∈Z}；二是研究当采样密度加密m倍时，得到了一个更快重构算法，该重构算法的收敛速度增长了m倍，即当采样密度满足δ=supn∈Z(xn+1-xn)＜1/m，其中m是一大于或等于2的正整数，那么重构算法的收敛速度由原来的‖f-.fk‖L2(R)≤δk‖f‖L2(R)提高到||f-fk‖L2(R)≤δmk‖f‖L2(R).