Talagrand于1996年首先在欧氏空间上对Gauss测度建立了运费不等式.从那以后，在这个方向有了许多工作.本文的主要目的是考虑在一些无穷维空间上建立运费不等式.在取值于非紧李群的轨道空间上，我们建立了相对于Cameron-Martin距离的运费不等式.而在环空间上，我们分别建立了关于一致距离和“黎曼”距离的运费不等式.为此，我们给出了环空间上“黎曼”距离的定义，并且讨论了它的一些性质.我们证明了这个“黎曼”距离与Hino和Ramirez在他们的文章(Annal.Prob.31(2003)，1254-1295)中定义的距离是一致的，而我们的定义更容易讨论该距离的性质.本文还对无穷维空间定义了Hamilton-Jacobi半群，研究了它的可测性，半群性及保持Lipshitz函数类的性质.我们将O.Enchev与D.Stroock在抽象Wiener空间上证明的Rademacher定理推广到了完备可分度量空间上.由此，通过讨论Hamilton-Jacobi半群的超压缩性，我们证明了Log-Sobolev不等式可以导出运费不等式.此外，本文还解决了李群轨道空间上的Monge-Kantorovich问题.最后，我们讨论了环空间和抽象Wiener空间上的Harnack不等式.在抽象Wiener空间上，通过Harnack不等式，我们建立了HWI不等式，从而建立了包括相对熵H、Wasserstein距离W和Fisher信息量I的一个关系式.