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考虑以下半线性椭圆方程解的存在性和多重性问题{-△u=λku+g（x，u）+h(x)x∈Ω，u=0x∈(a)Ω，(P)其中Ω(c)RN是具有光滑边界的有界区域，0＜λ1＜λ2＜λ3＜…＜λj＜…是-△在H10(Ω)中不同的特征值，h∈L2(Ω)并且g∈C1(Ω×R，R)满足次临界增长条件|g(x,t)|≤C(1+|t|p-1)(1)对x∈Ω几乎处处成立.其中，1＜p＜2*，2*={2N/N-2,N≥3,∞，N=1，2.
当条件0≤liminf｜t｜→∞g(x,t)/t≤limsup｜t｜→∞g(x,t)/t≤λk+1-λk，对x∈Ω几乎处处一致成立，问题(P)被称为双共振问题.本文主要研究双共振问题.首先研究首特征值问题，当k=1时，有以下定理成立.
定理2.1.假设(1)，k=1成立.当|t|→-∞时，有G（x，t)→-∞对x∈Ω几乎处处一致成立.且存在δ＞0，当0＜｜t｜＜δ时，有1/2(λm-λ1)t2≤G（x，t)≤1/2（λm+1-λ1）t2成立，其中m≠1，则问题(P）有三个不同的解.
此处及下文中a(x)≤b(x)表示在正测集上严格不等.
然后考虑对任意x∈Ω有h(x)=0时，问题(P)解的存在性与多重性有以下定理成立.
定理3.1.假设(1)，h=0成立，且g满足0≤liminf|t|→∞g(x,t)/t≤limsup|t|→∞g(x,t)/t≤λk+1-λk.(2)存在函数α∈L1(Ω)使得2G(x，t)-g(x，t)t≥α(x)(3)对t∈R，x∈Ω几乎处处成立.存在Ω的正测度子集Ω1，使得当|t|→∞时2G(x,t)-g(x,t)t→+∞(4)对x∈Ω1几乎处处成立.则问题(P)至少有一个解.
定理3.2.假设(1)，(2)，(3)，(4)，h=0成立.且满足g(x，0)≤λ1-λk.则问题(P）至少有三个非平凡解其中一正一负.
定理3.3.假设(1)，(2)，(3)，(4)，k≥2，h=0，g(x，0)=λm-λk成立.且存在t1＜0，t2＞0使得λkt1+g(x，t1)=λkt2+g(x，t2)=0对x∈Ω均成立.如果g满足存在δ＞0，使得G（x，t)+1/2λkt2≥1/2λmt2对｜t｜≤δ，m≥2和k≠m成立，或G(x，t)+1/2λkt2≤1/2λmt2对｜t｜≤δ，m＞2和k≠m-1成立.则问题(P)至少有五个非平凡解.