论文部分内容阅读
70年代末出现非线性科学研究热潮又一次极大影响了复杂系统研究。复杂系统中基本单元的相互作用必然导致其描述的数学模型具有非线性这个共性，非线性科学的兴起来自于对这个共性的研究。
在复杂系统的共性方面，就我的了解而言，大致可以归纳如下：
(1)所有复杂系统的共性是涌现。
(2)这些涌现现象是由混沌边缘来完成，换句话说这种由无序到有序过程是由混沌边缘来完成。
(3)复杂系统一般具有一些通有特点：(a)非均匀性(b)非线性性(c) 自适应性。
为了从理论探索复杂系统，我们首先要建立相应模型。很幸运我们从图论中找到了这种模型，即现在常常提到的网络。
我们用无向网络为例来说明图论中描述网络结构的一些基本概念。邻接矩阵；网络的平均路程长度；聚类系数；度分布；Betweenness；研究一个结点vi的度k与它所连接的k个不同结点的度之间的关系的条件概率P(k|k)；最邻近邻域平均度。规则网络和随机图的基本统计特征和区别，另外还介绍了小世界网络和无标度网络以及Motifs和Community。
本文就传染病SIR模型的一些问题来进行研究，SIR模型是把人群分成三类不同性质的子群：易感者(S)代表未染病但有可能被传染的个体；染病者(I)代表已染病并且具有传染力个体；移除者(R)代表没有病且具有免疫力的个体。在建立该类数学模型中，引进了重要参量，即传播率λ。流行病在两个体之间以概率λ传播。对于SIR模型，我们感兴趣的是当流行病最后消失时，被感染者的人数比例；或者说是讨论最初的少量患者能否使疾病在整个人群中广泛的流行。特别地，我们关心的问题是是否存在流行病的相变点，即阈值λc，在λ<λc时，疾病不可能大规模流行；当λ>λc时，疾病存在确定的流行概率。
本文初步研究了传染病SIR模型的动力学问题和传播率λ对疾病大规模流行的影响，进而进行了数值分析；并对于不同网络特征系数的网络进行了数值模拟比较。