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摘 要 利用数学归纳法证明仅含有两端元件的平面电路中支路、结点、网孔之间的关系，并由此得出平面电路中方程的独立性原则，该原则是支路电流分析法的理论基础。
关键词 平面电路；基尔霍夫定律；数学归纳法
中图分类号：G712 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2016）03-0156-02
1 序言
在直流电阻电路的分析计算方法中，支路电流法是以支路电流为求解变量的电路分析方法[1]。支路电流法是根据各个元件上的VAR（元件约束）和电路各结点的KCL、网孔的KVL（拓扑约束）关系，以电路中各条支路上的电流为未知量，建立数目足够且相互独立的方程组，通过求网孔电压KVL和结点的KCL结合列出足够且相互独立的方程组，并求解的过程。方法指出，可以根据电路中的结点数n，列出n-1个独立的电流方程；根据电路中的网孔个数m，列出m个独立的电压方程。这样，总的方程数（n-1） m正好可以求解出电路中全部b条支路ax中的电路，即b=（n-1） m。
考虑到拓扑约束证明的数学内容并非机电类工科学生的必修内容，且比较难掌握，在教学中通常只是让学生记住此结论，而并不加以证明。有学生对此提出疑问：“电路的支路条数b、网孔数m和结点个数n肯定满足以上关系吗？如果有特例，岂不是无法正确求解？”
为了解答学生的疑问，笔者首先用数学方法证明以上结论的正确性，并在此基础上讨论平面电路方程的独立性问题。
2 电路中的常用名词
先明确电路中的几个常用名词的概念，这一点很重要。因为在不同的依据中，某些名词概念的含义是不同的，特别是支路、结点的概念。本文中的支路是按照电路中同一电流习惯给出的，有别与网络拓扑分析中的定义[2]。
1）平面电路：对于任意扭动电路的分支，将之铺在一个平面上，若可以避免相交叉而又不连接的现象发生，则称该电路为平面电路。换言之，平面电路就是可以画在一个平面上而不使任何电路分支交叉的电路。本文中只讨论仅含有两端元件的平面电路，如图1平面电路所示。
2）支路（branch）：电路中同一电流流过的分支电路全部。图1电路中共有六个电流i1、i2、i3、i4、i5、i6，故此有六条支路。
3）结点（node）：电路中三条或三条以上支路的公共连接点。图1电路中有四个结点，分别是a、b、c和d，而e、f、g不是结点。
4）网孔（mesh）：平面电路中的一个内部无任何支路的闭合回路。图1电路中有三个网孔，分别是回路a→b→d→e→a、b→c→f→d→b、a→g→c→b
→a。
5）基尔霍夫电流定律（KCL）：静态电路中，流经电路中任一结点的电流代数和恒等于0。
6）基尔霍夫电压定律（KVL）：任意时刻，沿电路任一回路绕行一周，回路中各个元件上的电压的代数和恒等于0。
3 数学归纳法（Mathematical Induction）
数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的重要方法。一般的，证明一个与自然数n有关的命题P（n），有如下步骤：
1）证明当n取第一个值n0时命题成立，n0取0或1，或指定的某一具体数；
2）假设n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明n=k 1时命题也成立；
3）综合前两步，对一切自然数n（n≥n0）都成立。
数学归纳法的三个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，这两个步骤都非常重要，缺一不可。
4 利用数学归纳法证明平面电路中的数学关系
根据以上所介绍的平面电路的基本概念及数学归纳法的证明步骤，若想证明b=（n-1） m关系式对于任意平面电路都成立，不妨从m=1开始，电路如图2所示。此电路中n=0，b=1，显然满足关系式b=（n-1） m。
图2电路是通过增加一条新支路的方法，得到两个网孔的电路，即m=2。如图3电路所示，此电路中支路条数b=3，结点个数n=2，很明显也满足b=（n-1） m。
依然通过增加新支路的方法，得到三个网孔电路，即m=3，将会出现三种不同的电路，分别如图4（a）（b）（c）所示。其中，图4（a）中电路的结点数不变，即新增的支路是由原电路中的两个结点之间接入，即n=2，此时支路数变为b=3 1=4；图4（b）中电路的结点数n=3，即新增的支路是由原电路中的一个结点和增加一个新的结点（可以理解为原电路中的某一条支路上的一个点变为结点）之间接入，此时新电路的支路数b=3 1 2-1=5；图4（c）中电路的结点数n=4，是由增加的连个新结点之间引入一条支路，则新电路支路数b=3 1 4-2=6。
通过计算可以得出结论：三种情况中，均满足关系式b=（n-1） m。
现在假设某平面电路中的网孔数满足m=μ（μ≥3，μ为自然数），结点数n=ν（ν为自然数）时，电路中支路条数b=（n-1） m=（ν-1） μ关系式成立，则通过增加一条新支路的方法使得网孔数增加1，即m=μ 1。如前所述分析可知，新电路会有三种情况出现：图5（a）电路中n=ν，b=（ν-1）
μ 1=（n-1） m；图5（b）电路中n=ν 1，b=（ν-1） μ 1 2-1=（n-1） m；图5（c）电路中n=ν 2，b=（ν-1） μ 1 4-2=（n-
1） m。
可见，对与网孔数为m=μ 1的平面电路，上述关系式依然成立。由以上分析，可知结论b=（n-1） m对所有平面电阻电路均适用。
5 平面电阻电路中方程的独立性
所谓的独立方程，即任意一个方程都不能由所列的其他方程组合得到[4]。事实上，在一般情况下，对于有n个结点、b条支路的平面电路，可以列出n-1个独立的KCL方程，这是因为对于n个结点中的前n-1个，可以分别列出独立的KCL方程，而对于第n个结点，流入的电流其实可以表示为其他所有结点流出电流之和，流出的电流可以表示为其他所有结点流入电流之和，故此并非独立方程；而在所列的各KVL方程中，可以确定的是以m个网孔为回路所列的KVL方程一定是相互独立的，即b-（n-1）=m个，其他非网孔的回路所列的KVL方程可以由这m的独立方程相加得到。因此，通过KCL和KVL所列的（n-1） m个独立方程，再加上VAR元件约束条件，可以求解出来任一平面电阻电路中全部b条支路上的电流。
参考文献
[1]陆国和.电路与电工技术[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.
[2]陈自力，刘学军.克希霍夫独立方程数定理的证明[J].电工教育，1995（3）.
关键词 平面电路；基尔霍夫定律；数学归纳法
中图分类号：G712 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2016）03-0156-02
1 序言
在直流电阻电路的分析计算方法中，支路电流法是以支路电流为求解变量的电路分析方法[1]。支路电流法是根据各个元件上的VAR（元件约束）和电路各结点的KCL、网孔的KVL（拓扑约束）关系，以电路中各条支路上的电流为未知量，建立数目足够且相互独立的方程组，通过求网孔电压KVL和结点的KCL结合列出足够且相互独立的方程组，并求解的过程。方法指出，可以根据电路中的结点数n，列出n-1个独立的电流方程；根据电路中的网孔个数m，列出m个独立的电压方程。这样，总的方程数（n-1） m正好可以求解出电路中全部b条支路ax中的电路，即b=（n-1） m。
考虑到拓扑约束证明的数学内容并非机电类工科学生的必修内容，且比较难掌握，在教学中通常只是让学生记住此结论，而并不加以证明。有学生对此提出疑问：“电路的支路条数b、网孔数m和结点个数n肯定满足以上关系吗？如果有特例，岂不是无法正确求解？”
为了解答学生的疑问，笔者首先用数学方法证明以上结论的正确性，并在此基础上讨论平面电路方程的独立性问题。
2 电路中的常用名词
先明确电路中的几个常用名词的概念，这一点很重要。因为在不同的依据中，某些名词概念的含义是不同的，特别是支路、结点的概念。本文中的支路是按照电路中同一电流习惯给出的，有别与网络拓扑分析中的定义[2]。
1）平面电路：对于任意扭动电路的分支，将之铺在一个平面上，若可以避免相交叉而又不连接的现象发生，则称该电路为平面电路。换言之，平面电路就是可以画在一个平面上而不使任何电路分支交叉的电路。本文中只讨论仅含有两端元件的平面电路，如图1平面电路所示。
2）支路（branch）：电路中同一电流流过的分支电路全部。图1电路中共有六个电流i1、i2、i3、i4、i5、i6，故此有六条支路。
3）结点（node）：电路中三条或三条以上支路的公共连接点。图1电路中有四个结点，分别是a、b、c和d，而e、f、g不是结点。
4）网孔（mesh）：平面电路中的一个内部无任何支路的闭合回路。图1电路中有三个网孔，分别是回路a→b→d→e→a、b→c→f→d→b、a→g→c→b
→a。
5）基尔霍夫电流定律（KCL）：静态电路中，流经电路中任一结点的电流代数和恒等于0。
6）基尔霍夫电压定律（KVL）：任意时刻，沿电路任一回路绕行一周，回路中各个元件上的电压的代数和恒等于0。
3 数学归纳法（Mathematical Induction）
数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的重要方法。一般的，证明一个与自然数n有关的命题P（n），有如下步骤：
1）证明当n取第一个值n0时命题成立，n0取0或1，或指定的某一具体数；
2）假设n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明n=k 1时命题也成立；
3）综合前两步，对一切自然数n（n≥n0）都成立。
数学归纳法的三个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，这两个步骤都非常重要，缺一不可。
4 利用数学归纳法证明平面电路中的数学关系
根据以上所介绍的平面电路的基本概念及数学归纳法的证明步骤，若想证明b=（n-1） m关系式对于任意平面电路都成立，不妨从m=1开始，电路如图2所示。此电路中n=0，b=1，显然满足关系式b=（n-1） m。
图2电路是通过增加一条新支路的方法，得到两个网孔的电路，即m=2。如图3电路所示，此电路中支路条数b=3，结点个数n=2，很明显也满足b=（n-1） m。
依然通过增加新支路的方法，得到三个网孔电路，即m=3，将会出现三种不同的电路，分别如图4（a）（b）（c）所示。其中，图4（a）中电路的结点数不变，即新增的支路是由原电路中的两个结点之间接入，即n=2，此时支路数变为b=3 1=4；图4（b）中电路的结点数n=3，即新增的支路是由原电路中的一个结点和增加一个新的结点（可以理解为原电路中的某一条支路上的一个点变为结点）之间接入，此时新电路的支路数b=3 1 2-1=5；图4（c）中电路的结点数n=4，是由增加的连个新结点之间引入一条支路，则新电路支路数b=3 1 4-2=6。
通过计算可以得出结论：三种情况中，均满足关系式b=（n-1） m。
现在假设某平面电路中的网孔数满足m=μ（μ≥3，μ为自然数），结点数n=ν（ν为自然数）时，电路中支路条数b=（n-1） m=（ν-1） μ关系式成立，则通过增加一条新支路的方法使得网孔数增加1，即m=μ 1。如前所述分析可知，新电路会有三种情况出现：图5（a）电路中n=ν，b=（ν-1）
μ 1=（n-1） m；图5（b）电路中n=ν 1，b=（ν-1） μ 1 2-1=（n-1） m；图5（c）电路中n=ν 2，b=（ν-1） μ 1 4-2=（n-
1） m。
可见，对与网孔数为m=μ 1的平面电路，上述关系式依然成立。由以上分析，可知结论b=（n-1） m对所有平面电阻电路均适用。
5 平面电阻电路中方程的独立性
所谓的独立方程，即任意一个方程都不能由所列的其他方程组合得到[4]。事实上，在一般情况下，对于有n个结点、b条支路的平面电路，可以列出n-1个独立的KCL方程，这是因为对于n个结点中的前n-1个，可以分别列出独立的KCL方程，而对于第n个结点，流入的电流其实可以表示为其他所有结点流出电流之和，流出的电流可以表示为其他所有结点流入电流之和，故此并非独立方程；而在所列的各KVL方程中，可以确定的是以m个网孔为回路所列的KVL方程一定是相互独立的，即b-（n-1）=m个，其他非网孔的回路所列的KVL方程可以由这m的独立方程相加得到。因此，通过KCL和KVL所列的（n-1） m个独立方程，再加上VAR元件约束条件，可以求解出来任一平面电阻电路中全部b条支路上的电流。
参考文献
[1]陆国和.电路与电工技术[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.
[2]陈自力，刘学军.克希霍夫独立方程数定理的证明[J].电工教育，1995（3）.