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直面问题:
在以后的教学中,我又不时地发现,当学生碰到这类问题时,出错率是居高不下。如:一辆汽车行驶750千米消耗汽油115升,平均每升汽油可以行驶多少千米?汽车每行驶1千米需要消耗汽油多少升?(简称“油耗问题”)又如:25千克大豆可以榨油3.75千克,那么1千克大豆可以榨油多少千克?榨油1千克需要大豆多少千克?(简称“出油问题”)诸如此类的题目出现时,许多学生往往束手无策。
解剖问题:
解决上述所说的“西瓜问题”“油耗问题”“出油问题”等,主要用到的是平均分知识。据低年级教师反映,学生对平均分的知识掌握得很好,几乎没有学生做错。那为什么二年级学生就掌握得很好的“平均分”问题,却对高年级的学生集体卡壳了呢?我认为之所以产生这种现象,是因为学生“平均分”的概念建立不到位。主要表现在:
1.“平均分”的要领不清
学生之所以对“西瓜问题”“油耗问题”“出油问题”等束手无策,虽然跟没有建立清晰的数量关系有关,但其根本原因还是“平均分”的教学不到位。我发现教师在教学“平均分”时,特别注重以下两个问题的研究:一是什么叫平均分;二是怎么平均分。主要采取动手操作的教学方式帮助学生理解平均分的意义,获得平均分的方法,求得平均分的结果,引进除法算式。而对平均分的要领——把“什么东西平均分”“平均分成几份”却研究得不多,这恰恰是解决上述几个问题的关键。低年级教师为什么没有对这两个关键问题引起足够的重视,没有在“平均分”的概念建立之初加以指导,没有花大力气解决这个教学重、难点呢?是因为二年级学习除法时,学生接触到的平均分现象脉络清晰,作业正确率相当高。这“相当高”的正确率掩盖了问题的实质,使得我们的教师迷失在这“形势一片大好”的虚像中,发现不了问题的症结,以为学生掌握得很好而没有再去深究。
2.数学模型的建构缺失
“数学模型”就是用来描摹事物的客观发展规律的数学公式。“数量关系”是从一类有共同规律的数学问题中总结出来的揭示某些数量之间的本质联系。从这个意义上,数量关系可以理解为一种“解决问题”的数学模型。“每千克西瓜多少元?”这是一道求单价的典型问题,可以直接利用“总价÷数量=单价”这一数量关系列式计算。为什么数量关系如此清晰的题目,却有63%的学生在这一送分题上集体失分呢?其原因之一是数学模型的建构缺失,即基本“总价、单价、数量”三个数量之间的关系没有建立起来。这是因为教材取消了“应用题”这个独立的领域,没有采用系统的“应用题”编排方式,而是把“解决问题”教学与各部分知识的教学有机地结合在一起。与传统教材相比,新教材淡化了应用题解题方法的训练,淡化了数量关系的概括,这使得许多教师非常困惑。特别是低年级教师,他们不知道这些数量关系会在什么时候出现,在涉及相关问题的解决过程中是否要帮助学生总结、强化这些数量关系。由于教师不能很好地理解教材的编排意图,使得在课堂教学中缺失了有目的建构数学模型的行为。
3.大数除以小数的负迁移
学习“平均分”到学习“除法”,再到“小数除法”,学生所接触到的凡是用除法解决的问题,都是用“大数除以小数”列式计算的,从来没有出现用“小数除以大数”的现象。长此以往,学生在不断的练习中,逐渐形成这样一种条件反射——当发现需要用除法解决问题时,根本不加考虑,直接用“大数除以小数”列式计算。此外,在学生初次接触由平均分引入除法时,教师既没有较好地引导学生总结、掌握“把什么东西平均分”“平均分成几份”的解题策略,又没有及时帮助学生建立数学模型,无形中加剧了学生看到除法就用“大数除以小数”的错误条件反射的建立,形成思维定式。
解决策略:
如何找准教学的“根本”,使我们能以“平均分”教学为契机,帮助学生理解除法的意义、数量之间的关系,学会分析问题的方法,掌握策略及提高学生解决问题的能力呢?我认为可从以下三个方面做尝试。
一、关注平均分的过程,理清平均分的要领
在教学“平均分”时,我们不能把目光仅仅停留在理解“什么叫平均分、怎样平均分”上,而要重点研究“把什么东西平均分、平均分成几份”。在指导学生进行每一次平均分的过程中,不断引导学生体会平均分时必须搞清楚这两个关键问题。在一次又一次的操作实践中,教师要及时引导学生把“操作经验”“生活经验”与“数学问题”进行沟通,通过梳理、对比,启发学生从生活经验逐步上升到用数学的思想方法来认识问题、分析问题,从中摸索出解决问题的基本方法,掌握解决问题的基本策略。
二、研究平均分的现象,适时建构数学模型
在“平均分”的教学过程中,我们要注重研究平均分的现象,透过现象抽象出具有一般规律性的知识,并加以总结、提炼,适时形成数量关系。同时帮助学生把教材中分散编排且不对数量关系进行整理的“解决问题”现状加以分析,及时进行必要的梳理与整合,使学生较好地理解和掌握知识之间的内在联系,引导学生建构数学模型。教师要有意识地借助生活中常见的平均分现象,帮助学生把生活经验、生活原型提升到“数学化”的层次,用数量关系这个模型当作学生解决问题的一根拐杖,帮助学生在解决一个问题的同时,沟通题组之间的内在联系,达到举一反三、触类旁通的目的。
三、借助平均分的实例,抑制条件反射的建立
在解决平均分问题时,学生出现“大数除以小数”的负迁移,究其原因是大量用“大数除以小数”解决除法问题的练习建立起来的条件反射。如何在平均分教学时就把这种错误的意识消灭在原始状态,使其失去生长发育的“土壤”?我想,最佳的办法是通过实例,打破条件反射。
例如,在教学“平均分”以后,设计一个“分一分”的练习:想一想,我们把什么东西平均分?平均分成几份?怎么用算式表示分的过程(只列式不计算)?算式表示什么意思?呈现以下练习:1.10枝铅笔,平均分给5个小朋友。2.8根跳绳,平均分成2堆。3.16朵花平均插到4个花瓶中。4.4个苹果平均分给2个小朋友。同时引导学生比较这些题目的共同点——都是把一些物体平均分,都可以用“平均分的物体个数÷平均分的份数”,算式表示的是“平均每份有多少”。在此基础上,教师紧接着提出一个挑战性的问题:如果要把这4个苹果平均分给8个小朋友呢?你会分吗?能用算式表示分的过程吗?这个算式表示什么意思?在这个过程中,可以让学生动手用图片代替苹果分一分,同桌议一议,充分调动学生的生活经验——把苹果切开一分为二,每人分得半个苹果。借助这一活动,使学生明白只要是平均分,不管平均分的物体个数是多还是少,都用“平均分的物体个数÷平均分的份数”来表示平均分的过程。在帮助学生澄清了这些认识以后,教师可以随机出现“大数除以小数”或“小数除以大数”的平均分现象,甚至还可以不出现数据,直接用文字叙述。用这样的方式引导学生关注平均分的过程,体会“用算式表示平均分的过程”的方法。通过只列式不计算的策略,有效避免学生计算上的困难,并及时引进“小数除以大数”的算式。这样“大数除以小数”或“小数除以大数”算式的反复呈现,破坏学生对“大数除以小数等于平均分”的非本质属性的建立,使其无法形成条件反射,避免负迁移对小数除法的干扰。
四、对照平均分的结果,养成自我反思的习惯
“买33.2千克西瓜花了26.25元,每千克西瓜多少元?”许多学生用“33.2÷26.25”列式计算。如果学生具有反思意识,对照计算结果,根据生活经验估计一下就能发现解答有问题,就能及时反思解题思路,调整解题方法。试想,即使1千克西瓜1元钱的话,买33.2千克西瓜也只要33.2元。所以对照条件,每千克西瓜的价钱应该在1元以下,可是按照“33.2÷26.25”列式计算的结果超过了1元,其结果肯定是错的。可实际情况是54%的学生对此结果毫无疑问,这说明了学生缺少反思、估算的意识。反思、估算意识的培养,我们也可以结合平均分教学进行渗透。如每一次平均分后,先让学生估一估结果是多少,然后算一算、比一比估计是否合理。在实际教学中,不时地引导学生用估计来猜测,用平均分的结果来对照估计的正确性,逐步建立“估计——对照——调整”的解题流程,养成良好的反思习惯,就能对一些明显不符合逻辑的错误能自动加以检验,发现错误,及时纠错,掌握反思的方法,养成反思的习惯。
总之,我们在“平均分”教学中要全面把握教材的体系,理解教材的编排意图,适时建构解决问题的数学模型,使学生能借助生活经验和数学知识、数学模型轻松解决问题,提高解决问题的能力。
(责编 杜 华)
在以后的教学中,我又不时地发现,当学生碰到这类问题时,出错率是居高不下。如:一辆汽车行驶750千米消耗汽油115升,平均每升汽油可以行驶多少千米?汽车每行驶1千米需要消耗汽油多少升?(简称“油耗问题”)又如:25千克大豆可以榨油3.75千克,那么1千克大豆可以榨油多少千克?榨油1千克需要大豆多少千克?(简称“出油问题”)诸如此类的题目出现时,许多学生往往束手无策。
解剖问题:
解决上述所说的“西瓜问题”“油耗问题”“出油问题”等,主要用到的是平均分知识。据低年级教师反映,学生对平均分的知识掌握得很好,几乎没有学生做错。那为什么二年级学生就掌握得很好的“平均分”问题,却对高年级的学生集体卡壳了呢?我认为之所以产生这种现象,是因为学生“平均分”的概念建立不到位。主要表现在:
1.“平均分”的要领不清
学生之所以对“西瓜问题”“油耗问题”“出油问题”等束手无策,虽然跟没有建立清晰的数量关系有关,但其根本原因还是“平均分”的教学不到位。我发现教师在教学“平均分”时,特别注重以下两个问题的研究:一是什么叫平均分;二是怎么平均分。主要采取动手操作的教学方式帮助学生理解平均分的意义,获得平均分的方法,求得平均分的结果,引进除法算式。而对平均分的要领——把“什么东西平均分”“平均分成几份”却研究得不多,这恰恰是解决上述几个问题的关键。低年级教师为什么没有对这两个关键问题引起足够的重视,没有在“平均分”的概念建立之初加以指导,没有花大力气解决这个教学重、难点呢?是因为二年级学习除法时,学生接触到的平均分现象脉络清晰,作业正确率相当高。这“相当高”的正确率掩盖了问题的实质,使得我们的教师迷失在这“形势一片大好”的虚像中,发现不了问题的症结,以为学生掌握得很好而没有再去深究。
2.数学模型的建构缺失
“数学模型”就是用来描摹事物的客观发展规律的数学公式。“数量关系”是从一类有共同规律的数学问题中总结出来的揭示某些数量之间的本质联系。从这个意义上,数量关系可以理解为一种“解决问题”的数学模型。“每千克西瓜多少元?”这是一道求单价的典型问题,可以直接利用“总价÷数量=单价”这一数量关系列式计算。为什么数量关系如此清晰的题目,却有63%的学生在这一送分题上集体失分呢?其原因之一是数学模型的建构缺失,即基本“总价、单价、数量”三个数量之间的关系没有建立起来。这是因为教材取消了“应用题”这个独立的领域,没有采用系统的“应用题”编排方式,而是把“解决问题”教学与各部分知识的教学有机地结合在一起。与传统教材相比,新教材淡化了应用题解题方法的训练,淡化了数量关系的概括,这使得许多教师非常困惑。特别是低年级教师,他们不知道这些数量关系会在什么时候出现,在涉及相关问题的解决过程中是否要帮助学生总结、强化这些数量关系。由于教师不能很好地理解教材的编排意图,使得在课堂教学中缺失了有目的建构数学模型的行为。
3.大数除以小数的负迁移
学习“平均分”到学习“除法”,再到“小数除法”,学生所接触到的凡是用除法解决的问题,都是用“大数除以小数”列式计算的,从来没有出现用“小数除以大数”的现象。长此以往,学生在不断的练习中,逐渐形成这样一种条件反射——当发现需要用除法解决问题时,根本不加考虑,直接用“大数除以小数”列式计算。此外,在学生初次接触由平均分引入除法时,教师既没有较好地引导学生总结、掌握“把什么东西平均分”“平均分成几份”的解题策略,又没有及时帮助学生建立数学模型,无形中加剧了学生看到除法就用“大数除以小数”的错误条件反射的建立,形成思维定式。
解决策略:
如何找准教学的“根本”,使我们能以“平均分”教学为契机,帮助学生理解除法的意义、数量之间的关系,学会分析问题的方法,掌握策略及提高学生解决问题的能力呢?我认为可从以下三个方面做尝试。
一、关注平均分的过程,理清平均分的要领
在教学“平均分”时,我们不能把目光仅仅停留在理解“什么叫平均分、怎样平均分”上,而要重点研究“把什么东西平均分、平均分成几份”。在指导学生进行每一次平均分的过程中,不断引导学生体会平均分时必须搞清楚这两个关键问题。在一次又一次的操作实践中,教师要及时引导学生把“操作经验”“生活经验”与“数学问题”进行沟通,通过梳理、对比,启发学生从生活经验逐步上升到用数学的思想方法来认识问题、分析问题,从中摸索出解决问题的基本方法,掌握解决问题的基本策略。
二、研究平均分的现象,适时建构数学模型
在“平均分”的教学过程中,我们要注重研究平均分的现象,透过现象抽象出具有一般规律性的知识,并加以总结、提炼,适时形成数量关系。同时帮助学生把教材中分散编排且不对数量关系进行整理的“解决问题”现状加以分析,及时进行必要的梳理与整合,使学生较好地理解和掌握知识之间的内在联系,引导学生建构数学模型。教师要有意识地借助生活中常见的平均分现象,帮助学生把生活经验、生活原型提升到“数学化”的层次,用数量关系这个模型当作学生解决问题的一根拐杖,帮助学生在解决一个问题的同时,沟通题组之间的内在联系,达到举一反三、触类旁通的目的。
三、借助平均分的实例,抑制条件反射的建立
在解决平均分问题时,学生出现“大数除以小数”的负迁移,究其原因是大量用“大数除以小数”解决除法问题的练习建立起来的条件反射。如何在平均分教学时就把这种错误的意识消灭在原始状态,使其失去生长发育的“土壤”?我想,最佳的办法是通过实例,打破条件反射。
例如,在教学“平均分”以后,设计一个“分一分”的练习:想一想,我们把什么东西平均分?平均分成几份?怎么用算式表示分的过程(只列式不计算)?算式表示什么意思?呈现以下练习:1.10枝铅笔,平均分给5个小朋友。2.8根跳绳,平均分成2堆。3.16朵花平均插到4个花瓶中。4.4个苹果平均分给2个小朋友。同时引导学生比较这些题目的共同点——都是把一些物体平均分,都可以用“平均分的物体个数÷平均分的份数”,算式表示的是“平均每份有多少”。在此基础上,教师紧接着提出一个挑战性的问题:如果要把这4个苹果平均分给8个小朋友呢?你会分吗?能用算式表示分的过程吗?这个算式表示什么意思?在这个过程中,可以让学生动手用图片代替苹果分一分,同桌议一议,充分调动学生的生活经验——把苹果切开一分为二,每人分得半个苹果。借助这一活动,使学生明白只要是平均分,不管平均分的物体个数是多还是少,都用“平均分的物体个数÷平均分的份数”来表示平均分的过程。在帮助学生澄清了这些认识以后,教师可以随机出现“大数除以小数”或“小数除以大数”的平均分现象,甚至还可以不出现数据,直接用文字叙述。用这样的方式引导学生关注平均分的过程,体会“用算式表示平均分的过程”的方法。通过只列式不计算的策略,有效避免学生计算上的困难,并及时引进“小数除以大数”的算式。这样“大数除以小数”或“小数除以大数”算式的反复呈现,破坏学生对“大数除以小数等于平均分”的非本质属性的建立,使其无法形成条件反射,避免负迁移对小数除法的干扰。
四、对照平均分的结果,养成自我反思的习惯
“买33.2千克西瓜花了26.25元,每千克西瓜多少元?”许多学生用“33.2÷26.25”列式计算。如果学生具有反思意识,对照计算结果,根据生活经验估计一下就能发现解答有问题,就能及时反思解题思路,调整解题方法。试想,即使1千克西瓜1元钱的话,买33.2千克西瓜也只要33.2元。所以对照条件,每千克西瓜的价钱应该在1元以下,可是按照“33.2÷26.25”列式计算的结果超过了1元,其结果肯定是错的。可实际情况是54%的学生对此结果毫无疑问,这说明了学生缺少反思、估算的意识。反思、估算意识的培养,我们也可以结合平均分教学进行渗透。如每一次平均分后,先让学生估一估结果是多少,然后算一算、比一比估计是否合理。在实际教学中,不时地引导学生用估计来猜测,用平均分的结果来对照估计的正确性,逐步建立“估计——对照——调整”的解题流程,养成良好的反思习惯,就能对一些明显不符合逻辑的错误能自动加以检验,发现错误,及时纠错,掌握反思的方法,养成反思的习惯。
总之,我们在“平均分”教学中要全面把握教材的体系,理解教材的编排意图,适时建构解决问题的数学模型,使学生能借助生活经验和数学知识、数学模型轻松解决问题,提高解决问题的能力。
(责编 杜 华)