论文部分内容阅读
构造法是解决导数问题的重要方法之一，许多导数问题的解决需要巧妙的构造函数.如何构造函数显得非常重要，下面剖析几例.
一、特征构造
例1（2016·银川二模）f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x>0时，xf′（x）-f（x）<0，记a=f（20.2）20.2，b=f（0.22）0.22，c=f（log25）log25，则（）
A. a C. c 分析：令g（x）=f（x）x，通过求导得到g（x）的单调性，从而解决问题.
解：令g（x）=f（x）x，则g′（x）=xf′（x）-f（x）x2，
∵x>0时，xf′（x）-f（x）<0，∴g（x）在（0， ∞）递减，
又log25>log24=2，1<20.2<2，0.22=0.04，
∴log25>20.2>0.22，
∴g（log25） 点评：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查了指数、对数的性质，解决本题的关键是根据所比较的三个数，合理构造函数，利用函数的单调性比较大小即可.
二、变形后构造函数
例2（2016·合肥二模）定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x） xf′（x）<2恒成立，则使x2f（x）-f（1） A. {x|x≠±1}B. （-∞，-1）∪（1， ∞）
C. （-1，1）D. （-1，0）∪（0，1）
分析：根据已知条件构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出x>0时的取值范围，并根据偶函数的性质，求出x<0时的取值范围.
解：当x>0时，由2f（x） xf′（x）-2<0：两边同乘以x得：
2xf（x） x2f′（x）-2x<0.
设g（x）=x2f（x）-x2，则g′（x）=2xf（x） x2f′（x）-2x<0，恒成立：
∴g（x）在（0， ∞）单调递减，由x2f（x）-f（1） ∴x2f（x）-x2 即x>1；
当x<0时，函数是偶函数，同理得：x<-1.
综上可知：实数x的取值范围为（-∞，-1）∪（1， ∞），故选：B.
点评：主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并通过求导判断函数的单调性，并应用偶函数的性质，求对称区间上的解.解决本题需要注意对x的讨论.
三、移项法构造函数
例3（2016·江西模拟）设函数f（x）=ex（3x-1）-ax a，其中a<1，若仅有一个整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是（）
A. [-2e，1）B. [-2e，34）
C. [2e，34）D. [2e，1）
分析：设g（x）=ex（3x-1），h（x）=ax-a，对g（x）求导，将问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线h（x）=ax-a的下方，求导数可得函数的极值，解g（-1）-h（-1）=-4e-1 2a≥0，求得a的取值范围.
解：设g（x）=ex（3x-1），h（x）=ax-a，则g′（x）=ex（3x 2），
∴x∈（-∞，-23），g′（x）<0，g（x）单调递减，x∈（-23， ∞），g′（x）>0，g（x）单调递增，∴x=-23，取最小值-3e-23，∴g（0）=-1<-a=h（0），
g（1）-h（1）=2e>0，直线h（x）=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，
∴g（-1）-h（-1）=-4e-1 2a≥0，∴a≥2e，a<1，∴a的取值范围[2e，1）.故答案选：D.
点评：本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，解决本题可以画出图象，利用图象之间的位置关系帮助理解解题过程.
四、作差后构造
例4（2016·辽宁模拟）已知函数f（x）=ln（1 x）x（x>0）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：f（x）>2x 2.
分析：（1）根据导数和函数单调性的关系，以及导数和最值的关系即可求出；
（2）令h（x）=ln（1 x）-2xx 2，利用导数和最值的关系即可证明.
解：（1）∵f（x）=ln（1 x）x（x>0），
∴f′（x）=x1 x-ln（1 x）x2（x>0），
设g（x）=x1 x-ln（1 x），x>0，
∴g′（x）=1 x-x（1 x）2-11 x=-x（1 x）2<0，
∴g（x）在（0， ∞）为减函数，
∴g（x） ∴f′（x）<0，∴f（x）在（0， ∞）为减函数.
（2）令h（x）=ln（1 x）-2xx 2，
∴h′（x）=x2（x 1）（2 x）2，
x>0时，h′（x）>0，∴h（x）在（0， ∞）上单调递增，
∴h（x）>h（0）=0，∴ln（1 x）>2xx 2，从而，x>0时，f（x）>2x 2得证.
点评：本题考查了导数和函数的单调性最值的关系，考查了转化思想，培养了同学们的运算能力，分析解决问题的能力，属于中档题.
一、特征构造
例1（2016·银川二模）f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x>0时，xf′（x）-f（x）<0，记a=f（20.2）20.2，b=f（0.22）0.22，c=f（log25）log25，则（）
A. a
解：令g（x）=f（x）x，则g′（x）=xf′（x）-f（x）x2，
∵x>0时，xf′（x）-f（x）<0，∴g（x）在（0， ∞）递减，
又log25>log24=2，1<20.2<2，0.22=0.04，
∴log25>20.2>0.22，
∴g（log25）
二、变形后构造函数
例2（2016·合肥二模）定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x） xf′（x）<2恒成立，则使x2f（x）-f（1）
C. （-1，1）D. （-1，0）∪（0，1）
分析：根据已知条件构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出x>0时的取值范围，并根据偶函数的性质，求出x<0时的取值范围.
解：当x>0时，由2f（x） xf′（x）-2<0：两边同乘以x得：
2xf（x） x2f′（x）-2x<0.
设g（x）=x2f（x）-x2，则g′（x）=2xf（x） x2f′（x）-2x<0，恒成立：
∴g（x）在（0， ∞）单调递减，由x2f（x）-f（1）
当x<0时，函数是偶函数，同理得：x<-1.
综上可知：实数x的取值范围为（-∞，-1）∪（1， ∞），故选：B.
点评：主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并通过求导判断函数的单调性，并应用偶函数的性质，求对称区间上的解.解决本题需要注意对x的讨论.
三、移项法构造函数
例3（2016·江西模拟）设函数f（x）=ex（3x-1）-ax a，其中a<1，若仅有一个整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是（）
A. [-2e，1）B. [-2e，34）
C. [2e，34）D. [2e，1）
分析：设g（x）=ex（3x-1），h（x）=ax-a，对g（x）求导，将问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线h（x）=ax-a的下方，求导数可得函数的极值，解g（-1）-h（-1）=-4e-1 2a≥0，求得a的取值范围.
解：设g（x）=ex（3x-1），h（x）=ax-a，则g′（x）=ex（3x 2），
∴x∈（-∞，-23），g′（x）<0，g（x）单调递减，x∈（-23， ∞），g′（x）>0，g（x）单调递增，∴x=-23，取最小值-3e-23，∴g（0）=-1<-a=h（0），
g（1）-h（1）=2e>0，直线h（x）=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，
∴g（-1）-h（-1）=-4e-1 2a≥0，∴a≥2e，a<1，∴a的取值范围[2e，1）.故答案选：D.
点评：本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，解决本题可以画出图象，利用图象之间的位置关系帮助理解解题过程.
四、作差后构造
例4（2016·辽宁模拟）已知函数f（x）=ln（1 x）x（x>0）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：f（x）>2x 2.
分析：（1）根据导数和函数单调性的关系，以及导数和最值的关系即可求出；
（2）令h（x）=ln（1 x）-2xx 2，利用导数和最值的关系即可证明.
解：（1）∵f（x）=ln（1 x）x（x>0），
∴f′（x）=x1 x-ln（1 x）x2（x>0），
设g（x）=x1 x-ln（1 x），x>0，
∴g′（x）=1 x-x（1 x）2-11 x=-x（1 x）2<0，
∴g（x）在（0， ∞）为减函数，
∴g（x）
（2）令h（x）=ln（1 x）-2xx 2，
∴h′（x）=x2（x 1）（2 x）2，
x>0时，h′（x）>0，∴h（x）在（0， ∞）上单调递增，
∴h（x）>h（0）=0，∴ln（1 x）>2xx 2，从而，x>0时，f（x）>2x 2得证.
点评：本题考查了导数和函数的单调性最值的关系，考查了转化思想，培养了同学们的运算能力，分析解决问题的能力，属于中档题.