2003年，德国《世界报》不畏艰难，把数学题材引入报纸专栏，结果取得巨大成功。根据该专栏100篇文章结集的图书《五分钟数学》风靡全球，已被翻译成英、法、俄、意、日、韩、土等十几个语种。本书根据该书持续修订后的第四版译出。本书所有文章讲了三个方面的问题，分别是数学是有用的，数学是迷人的，数学是自然的语言。这本书为我们挖掘了当代生活中蕴含的丰富有趣的数学素材，揭去了概率论、模算术、组合论、集合论、极值等高深概念的神秘面纱，也讲述了数学发展史上的传奇故事和伟大人物，启发我们要继续沿着数学道路去理解这个世界。
　　如果你想发送十个字母长的摩尔斯电码，但信号可能因编码错误或天气干扰而变形。
　　那么，你需要怎么做，才能够保证你原始的十字信息能够被完整地送达呢？第一个出现在我们脑海里的想法很可能是：发送者重复不断地发送，接收者则将重复频率最高的信息当作正确信息。对CD播放器而言，这种办法将会增加太多太多的工作。为了更有效地解决问题，人们发明了一种技术，使得在实际传输的“强健”b版信号中，信号长度并没有显著的增加。
　　同时，传输模式已经变得对错误不敏感，即便出现相当程度的干扰，重现的声音质量也不受影响。例如，甚至划痕严重的CD也可以播放，并且声音听起来也没有什么瑕疵。
　　很可惜，黑胶唱片没有相应的技术，它上面的一粒灰尘都会被听出来。

采样理论

　　对音乐或其他声音信号的原始资源，为了使它们能够进入我们家里的音响系统，我们需要完成几个步骤。首先，声音需要数字化，也就是转换成很长很长的，由0和1组成的序列。这个过程把信号从模拟的或说是连续的，转换成数字化的，或者说是离散的形式。这是决定性的一步，因为只有数字化的材料，才不会在复制和处理过程中出现品质的降低。
　　数字化之所以可能，是因为我们人类听觉的不完美。如果我们可以听到任意高频的“声波”，那就不可能有CD存在。但事实上，我们听不见超过20千赫的超声波，所以声音的数字化才得以成功实现。数字化过程分为两步：
　　信号首先经过滤波器，信号中人类听不到的高频率部分被滤去。对我们的耳朵来说，所得到的结果与原来的信号没有区别。
　　接着，我们利用这样一个事实：只要每秒采样的次数足够，限定频率范围内的信号就可以被数字化，并可以根据后者精确地重建。
　　上述第二点所陈述的事实就是“采样定理”，其准确的描述是这样的：如果一个信号由若干频率组成，其最高频率为f。那么，只要采样时间间隔不大于12f，信号就可以（根据采样结果不失真地）重建。
　　例如，如果信号中最高的频率是10千赫，那么，采样间隔必须不大于120000秒。这就是说，每秒采样次数要达到20000次。
　　这么说好像有些抽象，但这个定理可以用另一个领域的例子来说明。假设你有一个录像机，它每秒录像的帧数可以设置。你家小孩正坐在秋千上，而你正在给她录像。在正常的帧数设置下，录像会真实地重现小孩荡秋千的场景。但如果你把每秒录像的帧数设置得太低，场景就会被大大地歪曲：在录像中秋千只移动了一点点，而事实上录像机错过了秋千一个完整的来回。采样定理可以被比作录像机的使用说明：对秋千如此这般的往返频率，录像机的每秒帧数必须达到如彼那般，否则就无法真实地录下荡秋千的场景。
　　[德]埃温哈德·贝兰茨
　　柏林自由大学数学教授，主要作品包括《无处不在的数学》等。
　　吴朝阳
　　南京大学数学系副教授，科普作者、译者。