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题目：
探究3 图22.3-2中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降1m，水面宽度增加多少？
一、审题分析
1.题目背景
（1）题材背景：本题出自新人教版九年级上册第22.3节实际问题与二次函数的探究3。数学来源于生活，又能优化生活，生活中很多设计都是抛物线形的，如赵州桥、南宁大桥、隧道，喷泉等等。抛物线形实际问题是初中数学的重点和难点，为了更好地应用数学知识解决生活中的抛物线形实际问题，我选择了这道题。
（2）知识背景：①二次函数的图象和性质；②二次函数与一元二次方程的联系。
（3）方法背景：①会建立平面直角坐标系；②会用待定系数法求函数解析式
（4）思想背景：转化思想、数形结合思想、方程思想、类比思想。
2.学情分析
（1）学生特点：本题的教学对象是初三的学生，在此之前，学生已经学习了实际问题与二次函数的探究1和探究2，学生阅读能力和分析能力有所发展，探究问题的能力也有所提升。
（2）学生在答题中可能出现的困难：可能会想到用二次函数的知识解这道题，可能会想到需要建立平面直角坐标系，却不一定知道该如何建立适当的平面直角坐标系。
3.教学策略
从教材的编写意图出发，引导学生学会建立适当的平面直角坐标系，用二次函數解决实际问题。
4.重点难点
（1）重点：建立适当的平面直角坐标系
（2）难点：把实际问题转化为数学问题
5.教学方法
采用启发式教学与小组讨论探究相结合的教学方法。
二、探究过程
1.把实际问题转化为数学问题
本题是一道实际问题，首先要引导学生把实际问题转化为数学问题，而如何转化正是这道题的难点。为了突破难点，在教学中我将采用启发式教学，由老师引导学生边读题边挖掘题目中的已知条件和隐含条件，寻找解题的突破口。
图22.3-2中是抛物线形拱桥，说明我们可以用二次函数的知识去求解，所以我们需要先把实际图形抽象成抛物线几何图形，把实际问题转化为二次函数问题。当拱顶离水面2m时，水面宽4m，可以得到水面AB=4m，拱顶到水面的距离MN=2m，水面下降1m，水面从AB下降1m到CD，这时NE=1m。要求水面宽度增加多少，那就是求CD减去AB所得的差。这里已经知道AB的长，那就得求CD的长，要求CD的长，就得知道点C或点D的坐标。要想知道点的坐标，就需要建立平面直角坐标系。建立平面直角坐标系后，如何求点C或点D的坐标？我们可以合理构造二次函数模型，用待定系数法求出抛物线所表示的二次函数解析式，然后再利用图象和函数解析式求出点C或点D的坐标，进而求出CD的长度。关键是如何建立适当的平面直角坐标系？
2.探究如何建立适当的平面直角坐标系
（1）以对称点所连线段的中点为原点建立平面直角坐标系
引导：观察图形，图中有没有跟点N类似的点？点C、点D也是抛物线上的对称点，点E是线段CD的中点。类比方法1，我们也可以以点E为原点，CD所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。就相当于把方法1中的x轴向下平移了一个单位，这时顶点M的坐标是（0，3），抛物线所表示的二次函数的解析式就可以设为 。解题过程与方法1一样.（借助多媒体动画演示.）
对于这种抛物线形实际问题学生第一次接触，不知从何下笔，所以在教学中，我将先引导学生观察图形的特点，大胆尝试以点N为原点建立平面直角坐标系得到方法1，然后引导学生对方法1进行总结，类比方法1，得到方法2.再让学生思考有没有比方法1和方法2更简便的方法.启发学生想办法使b=0，c=0后，我将把课堂交给学生，让学生小组讨论探究，体现课堂以学生为主体.最后请小组代表到讲台上展示他们小组讨论的情况，老师在对学生讨论情况进行总结分析.
3.解法总结
方法1和方法2是以对称点所连线段的中点为原点建立平面直角坐标系，这样做的目的是使抛物线的对称轴为y轴，二次函数解析式一次项系数为0。解法3、解法4、解法5是以抛物线上的点为原点建立平面直角坐标系，这样做的目的是使抛物线经过原点，二次函数解析式常数项为0。五种解法中最常用，最简便的方法是方法3，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，抛物线对称轴为y轴，二次函数一次项系数和常数项都为0，求解时最简便。这种方法也是今后的学习中我们最常用的方法。
探究3 图22.3-2中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降1m，水面宽度增加多少？
一、审题分析
1.题目背景
（1）题材背景：本题出自新人教版九年级上册第22.3节实际问题与二次函数的探究3。数学来源于生活，又能优化生活，生活中很多设计都是抛物线形的，如赵州桥、南宁大桥、隧道，喷泉等等。抛物线形实际问题是初中数学的重点和难点，为了更好地应用数学知识解决生活中的抛物线形实际问题，我选择了这道题。
（2）知识背景：①二次函数的图象和性质；②二次函数与一元二次方程的联系。
（3）方法背景：①会建立平面直角坐标系；②会用待定系数法求函数解析式
（4）思想背景：转化思想、数形结合思想、方程思想、类比思想。
2.学情分析
（1）学生特点：本题的教学对象是初三的学生，在此之前，学生已经学习了实际问题与二次函数的探究1和探究2，学生阅读能力和分析能力有所发展，探究问题的能力也有所提升。
（2）学生在答题中可能出现的困难：可能会想到用二次函数的知识解这道题，可能会想到需要建立平面直角坐标系，却不一定知道该如何建立适当的平面直角坐标系。
3.教学策略
从教材的编写意图出发，引导学生学会建立适当的平面直角坐标系，用二次函數解决实际问题。
4.重点难点
（1）重点：建立适当的平面直角坐标系
（2）难点：把实际问题转化为数学问题
5.教学方法
采用启发式教学与小组讨论探究相结合的教学方法。
二、探究过程
1.把实际问题转化为数学问题
本题是一道实际问题，首先要引导学生把实际问题转化为数学问题，而如何转化正是这道题的难点。为了突破难点，在教学中我将采用启发式教学，由老师引导学生边读题边挖掘题目中的已知条件和隐含条件，寻找解题的突破口。
图22.3-2中是抛物线形拱桥，说明我们可以用二次函数的知识去求解，所以我们需要先把实际图形抽象成抛物线几何图形，把实际问题转化为二次函数问题。当拱顶离水面2m时，水面宽4m，可以得到水面AB=4m，拱顶到水面的距离MN=2m，水面下降1m，水面从AB下降1m到CD，这时NE=1m。要求水面宽度增加多少，那就是求CD减去AB所得的差。这里已经知道AB的长，那就得求CD的长，要求CD的长，就得知道点C或点D的坐标。要想知道点的坐标，就需要建立平面直角坐标系。建立平面直角坐标系后，如何求点C或点D的坐标？我们可以合理构造二次函数模型，用待定系数法求出抛物线所表示的二次函数解析式，然后再利用图象和函数解析式求出点C或点D的坐标，进而求出CD的长度。关键是如何建立适当的平面直角坐标系？
2.探究如何建立适当的平面直角坐标系
（1）以对称点所连线段的中点为原点建立平面直角坐标系
引导：观察图形，图中有没有跟点N类似的点？点C、点D也是抛物线上的对称点，点E是线段CD的中点。类比方法1，我们也可以以点E为原点，CD所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。就相当于把方法1中的x轴向下平移了一个单位，这时顶点M的坐标是（0，3），抛物线所表示的二次函数的解析式就可以设为 。解题过程与方法1一样.（借助多媒体动画演示.）
对于这种抛物线形实际问题学生第一次接触，不知从何下笔，所以在教学中，我将先引导学生观察图形的特点，大胆尝试以点N为原点建立平面直角坐标系得到方法1，然后引导学生对方法1进行总结，类比方法1，得到方法2.再让学生思考有没有比方法1和方法2更简便的方法.启发学生想办法使b=0，c=0后，我将把课堂交给学生，让学生小组讨论探究，体现课堂以学生为主体.最后请小组代表到讲台上展示他们小组讨论的情况，老师在对学生讨论情况进行总结分析.
3.解法总结
方法1和方法2是以对称点所连线段的中点为原点建立平面直角坐标系，这样做的目的是使抛物线的对称轴为y轴，二次函数解析式一次项系数为0。解法3、解法4、解法5是以抛物线上的点为原点建立平面直角坐标系，这样做的目的是使抛物线经过原点，二次函数解析式常数项为0。五种解法中最常用，最简便的方法是方法3，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，抛物线对称轴为y轴，二次函数一次项系数和常数项都为0，求解时最简便。这种方法也是今后的学习中我们最常用的方法。