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所谓构造法，就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件和结论的充分变形与剖析，借助适当的、熟知的模型，以此促成命题的转换，而后获得新的解题策略.这种解题方法的主要亮点就是“构造”.
1. 构造成等差数列
将递推公式变形成[f(n+1)-f(n)=a]（[a]为常数）形式，先求新的等差数列[{f(n)}]的通项公式，再根据[f(n)]与[an]的关系求出[an]的通项公式.
题型I 对形如[an+1=AanBan+A(A、B为常数)]的递推公式，可以用倒数法来构造.
例1 在数列[an]中，[a1=1,an+1=2anan+2]，求数列[an]通项公式.
解析 把[an+1=2anan+2]两边取倒数，得
[1an+1=1an+12].
设[bn=1an]，则[bn+1-bn=12]，且[b1=1]，
∴数列[bn]是首项为1，公差[12]的等差数列.
∴[bn=1+12(n-1)=n+12]，
∴[an=2n+1]为所求.
2. 构造成等比数列
将递推公式变形成[f(n+1)f(n)=a]（[a]为非零常数）形式，先求新的等差数列[{f(n)}]的通项公式，再根据[f(n)]与[an]的关系求出[an]的通项公式.
题型Ⅱ 对形如[an+1=pan+q(p≠1,q]为常数），令[an+1+λ=p(an+λ)]来构造一个新的等比数列，并利用对应项相等求[λ]的值，求通项公式.
例2 在数列[an]中，[a1=1,an+1=3an+4]，求[an].
解析 递推式[an+1=3an+4]可用待定系数法变形为[an+1+2=3(an+2)]，令[bn=an+2]，那么数列[bn]就是首项为3，公比为3的等比数列. 通过求[bn]的通项公式达到求[an]的目的.
例3 在数列[an]中，[a1=1,an+1=4an+][3n+1]，求数列的通项公式.
解析 注意到递推式中的[(3n+1)]是关于[n]的一次式，用待定系数法来构造相关的递推式为：[an+1+A(n+1)+B=4(an+An+B)]（其中[A、B]为待定系数）.
展开得[an+1=4an+3An+3B-A]，与题给递推式比较，
解得[A=1,B=23.]
[∴an+1+(n+1)+23=4(an+n+23)]，
∴[an+n+23=83⋅3n-1].
∴数列通项公式为[an=83⋅3n-1-n-23].
点拨 事实上，上述两例使用的方法是相同的，例3只是把例2中的[q]改成了关于[n]的一次式，其实它还可以变化，而不仅仅只变为关于[n]的一次式！
例4 在数列[an]中，[a1=3,an+1=][2an+3⋅2n+1]，求[an].
解析 [∵an+1=2an+3×2n+1,][∴an+12n+1-an2n=3,]
[又a12=32]，
[∴an2n]是首项为[32]，公差为3的等差数列.
[∴an2n=32+(n-1)×3=3n-32].
[∴an=(3n-32)⋅2n].
【思考】本题如果采用例3中的方法，可以怎么构造呢？
题型Ⅲ 对形如[an+2=Aan+1+Ban][(A、B]为常数）的递推公式，须用两次构造成等比数列的方法. 具体做法叫特征方程法——其特征方程为[x2=Ax+B]，若方程两根为[α、β]，则递推公式可构造成如下两种对称形式：[an+2-αan+1=β(an+1-αan),][an+2-βan+1=α(an+1-βan)]，通过分别利用等比知识及加减消元法达到求[an]的目的.
例5 在数列[an]中，[a1=1,a2=3,an+2=2an+1][+3an]，求[an].
解析 [∵an=2an-1+3an-2]，
[∴an+an-1=3(an-1+an-2)].
而[a1+a2=7,∴an+an-1]是首项为7，公比为3的等比数列，则[an+an-1=7×3n-2]①
递推式又可变形为：
[an-3an-1=-(an-1-3an-2)]，且[a2-3a1=-13]，
[∴an-3an-1]是首项为-13，公比为-1的等比数列，则[an-3an-1=(-13)⋅(-1)n-2]②
由①[×3+]②得，[4an=7×3n-1+13×(-1)n-1].
[∴an=74×3n-1+134×(-1)n-1].
点拨 这种形式的构造方案——特征方程法也可以用在其它形式上，比如题型I的更一般形式：[an+1=Aan+CBan+D(A、B、C、D为常数)]的递推公式. 我们先考查特征方程[x=Ax+CBx+D]，若其一个有理数特征根为[λ]（无理数特征根在运算时比较繁琐，不提倡用此法），那么我们可以把递推式变形成[1an+1-λ=1Aan+CBan+D-λ]，然后化简右边的繁分式直至（通过换元后）变形成题型Ⅱ.
题型Ⅳ 对形如[an+1=Aank][(A、k为常数,][且A>0)]的递推公式，可以通过两边取以[A(A≠1)]为底的对数，构造成一个新的等比数列，再达到求[an]的目的.
例6 在数列[an]中，[a1=1,an+1=3an2]，求数列[an]通项公式.
解析 通过对[an+1=3an2]两边取以3为底的对数得，[log3an+1=2log3an+1]，再令[bn=log3an]，本题就变形成了上面提到的类型：[an+1=pan+q(p≠1,q]为常数）.
3. 构造成差式
有些数列在给出递推公式后我们可以构造成差式，其解题的大致思路是：构造出该数列相邻两项的差，然后采用迭加（或迭代）的方法来求解.
例7 在数列[an]中，[a1=1,a2=3,an+2=][(n+3)an+1-(n+2)an]，求通项公式[an].
解析 把递推式变形为
[an+2-an+1=(n+2)(an+1-an)]，迭代下去，
[an+2-an+1=(n+2)(an+1-an)]
[=(n+2)(n+1)(an-an-1)]
[=⋯]
[=(n+2)(n+1)⋯×4×3(a2-a1)]
[=(n+2)!]
（注：[n]的阶层——[n!=n(n-1)(n-2)×⋯×2×1]）
于是，[an-an-1=n!]，
[an-1-an-2=(n-1)!]，
…
[a2-a1=2!]，
迭加得，[an=1+2!+3!+⋯+n!].
4. 构造成商式
有些数列在给出递推公式后，我们可以构造成商式. 其解题的思路是：构造数列相邻两项的商式，然后用连乘的方法来求解.这也是一种求数列通项公式的常用方法.
例8 在 数列[an]中，前[n]项的和[Sn=n2an]，求[an].
解析 [∵Sn=n2an]，[a1=12]，
当[n≥2]时，[an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1].
化简并整理得：[anan-1=n-1n+1].
[∴an=anan-1⋅an-1an-2×⋯×a2a1⋅a1]
[=n-1n+1⋅n-2n×⋯×13⋅12][=1n(n+1).]
1. 构造成等差数列
将递推公式变形成[f(n+1)-f(n)=a]（[a]为常数）形式，先求新的等差数列[{f(n)}]的通项公式，再根据[f(n)]与[an]的关系求出[an]的通项公式.
题型I 对形如[an+1=AanBan+A(A、B为常数)]的递推公式，可以用倒数法来构造.
例1 在数列[an]中，[a1=1,an+1=2anan+2]，求数列[an]通项公式.
解析 把[an+1=2anan+2]两边取倒数，得
[1an+1=1an+12].
设[bn=1an]，则[bn+1-bn=12]，且[b1=1]，
∴数列[bn]是首项为1，公差[12]的等差数列.
∴[bn=1+12(n-1)=n+12]，
∴[an=2n+1]为所求.
2. 构造成等比数列
将递推公式变形成[f(n+1)f(n)=a]（[a]为非零常数）形式，先求新的等差数列[{f(n)}]的通项公式，再根据[f(n)]与[an]的关系求出[an]的通项公式.
题型Ⅱ 对形如[an+1=pan+q(p≠1,q]为常数），令[an+1+λ=p(an+λ)]来构造一个新的等比数列，并利用对应项相等求[λ]的值，求通项公式.
例2 在数列[an]中，[a1=1,an+1=3an+4]，求[an].
解析 递推式[an+1=3an+4]可用待定系数法变形为[an+1+2=3(an+2)]，令[bn=an+2]，那么数列[bn]就是首项为3，公比为3的等比数列. 通过求[bn]的通项公式达到求[an]的目的.
例3 在数列[an]中，[a1=1,an+1=4an+][3n+1]，求数列的通项公式.
解析 注意到递推式中的[(3n+1)]是关于[n]的一次式，用待定系数法来构造相关的递推式为：[an+1+A(n+1)+B=4(an+An+B)]（其中[A、B]为待定系数）.
展开得[an+1=4an+3An+3B-A]，与题给递推式比较，
解得[A=1,B=23.]
[∴an+1+(n+1)+23=4(an+n+23)]，
∴[an+n+23=83⋅3n-1].
∴数列通项公式为[an=83⋅3n-1-n-23].
点拨 事实上，上述两例使用的方法是相同的，例3只是把例2中的[q]改成了关于[n]的一次式，其实它还可以变化，而不仅仅只变为关于[n]的一次式！
例4 在数列[an]中，[a1=3,an+1=][2an+3⋅2n+1]，求[an].
解析 [∵an+1=2an+3×2n+1,][∴an+12n+1-an2n=3,]
[又a12=32]，
[∴an2n]是首项为[32]，公差为3的等差数列.
[∴an2n=32+(n-1)×3=3n-32].
[∴an=(3n-32)⋅2n].
【思考】本题如果采用例3中的方法，可以怎么构造呢？
题型Ⅲ 对形如[an+2=Aan+1+Ban][(A、B]为常数）的递推公式，须用两次构造成等比数列的方法. 具体做法叫特征方程法——其特征方程为[x2=Ax+B]，若方程两根为[α、β]，则递推公式可构造成如下两种对称形式：[an+2-αan+1=β(an+1-αan),][an+2-βan+1=α(an+1-βan)]，通过分别利用等比知识及加减消元法达到求[an]的目的.
例5 在数列[an]中，[a1=1,a2=3,an+2=2an+1][+3an]，求[an].
解析 [∵an=2an-1+3an-2]，
[∴an+an-1=3(an-1+an-2)].
而[a1+a2=7,∴an+an-1]是首项为7，公比为3的等比数列，则[an+an-1=7×3n-2]①
递推式又可变形为：
[an-3an-1=-(an-1-3an-2)]，且[a2-3a1=-13]，
[∴an-3an-1]是首项为-13，公比为-1的等比数列，则[an-3an-1=(-13)⋅(-1)n-2]②
由①[×3+]②得，[4an=7×3n-1+13×(-1)n-1].
[∴an=74×3n-1+134×(-1)n-1].
点拨 这种形式的构造方案——特征方程法也可以用在其它形式上，比如题型I的更一般形式：[an+1=Aan+CBan+D(A、B、C、D为常数)]的递推公式. 我们先考查特征方程[x=Ax+CBx+D]，若其一个有理数特征根为[λ]（无理数特征根在运算时比较繁琐，不提倡用此法），那么我们可以把递推式变形成[1an+1-λ=1Aan+CBan+D-λ]，然后化简右边的繁分式直至（通过换元后）变形成题型Ⅱ.
题型Ⅳ 对形如[an+1=Aank][(A、k为常数,][且A>0)]的递推公式，可以通过两边取以[A(A≠1)]为底的对数，构造成一个新的等比数列，再达到求[an]的目的.
例6 在数列[an]中，[a1=1,an+1=3an2]，求数列[an]通项公式.
解析 通过对[an+1=3an2]两边取以3为底的对数得，[log3an+1=2log3an+1]，再令[bn=log3an]，本题就变形成了上面提到的类型：[an+1=pan+q(p≠1,q]为常数）.
3. 构造成差式
有些数列在给出递推公式后我们可以构造成差式，其解题的大致思路是：构造出该数列相邻两项的差，然后采用迭加（或迭代）的方法来求解.
例7 在数列[an]中，[a1=1,a2=3,an+2=][(n+3)an+1-(n+2)an]，求通项公式[an].
解析 把递推式变形为
[an+2-an+1=(n+2)(an+1-an)]，迭代下去，
[an+2-an+1=(n+2)(an+1-an)]
[=(n+2)(n+1)(an-an-1)]
[=⋯]
[=(n+2)(n+1)⋯×4×3(a2-a1)]
[=(n+2)!]
（注：[n]的阶层——[n!=n(n-1)(n-2)×⋯×2×1]）
于是，[an-an-1=n!]，
[an-1-an-2=(n-1)!]，
…
[a2-a1=2!]，
迭加得，[an=1+2!+3!+⋯+n!].
4. 构造成商式
有些数列在给出递推公式后，我们可以构造成商式. 其解题的思路是：构造数列相邻两项的商式，然后用连乘的方法来求解.这也是一种求数列通项公式的常用方法.
例8 在 数列[an]中，前[n]项的和[Sn=n2an]，求[an].
解析 [∵Sn=n2an]，[a1=12]，
当[n≥2]时，[an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1].
化简并整理得：[anan-1=n-1n+1].
[∴an=anan-1⋅an-1an-2×⋯×a2a1⋅a1]
[=n-1n+1⋅n-2n×⋯×13⋅12][=1n(n+1).]