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一、弗赖登塔尔的数学教育思想
我国的基础教育正逐步由应试教育向素质教育全面推进，由此带来了教育观念、教育思想等方面的转变。荷兰数学家弗莱登塔尔认为数学教育的主要特征是：“现实、数学化、再创造”，并指出：数学教育应是现实数学的教育；数学教育的目标应是学会“数学化”；“再创造”的核心是数学过程的再现。他的这些数学教育思想对我国数学素质教育有一定的启示。
二、基于数学教育思想对“平面向量基本定理”的认识
（一）对情境的认识。弗赖登塔尔的数学化理论告诉我们，学生数学概念的习得应架构在他们已知的周围世界里，数学教育就是要联系生活的现实，学生的现实，教师的现实，要引导学生从现实世界的问题着手。因此，教材上的实例对于学生而言，不容易直观地体验与感受到定理的意义，基于此，在教学设计中从情景问题、与实际生活相联系的问题出发，重新优化整合，构造与学生生活密切相关的数学现实，从而发展学生的数学现实。
（二）对平面向量基本定理的认识。教材首先引导学生作图研究同一平面内两个不共线的向量与任意向量的关系，通过向量线性运算的性质得出结论，最后呈现出平面向量基本定理的概念。从学生来看，平面向量基本定理的学习已经超过学生关于平面向量的认知水平和接受能力，成为学生学习过程中难以理解和掌握的内容。从教学来看，定理中的一些逻辑词汇，如“任意”“有且只有”“不唯一”等，难以传授，这就使其教学常采用定理的表述—解释—证明—应用模式，这样的讲义方式似乎与概念学习的“数学化”过程不相符，不利于学生概念的形成，还有可能会造成理解的偏离。本节课从情景问题出发，从现实数学的视角引入新课，引导学生在力的分解与向量的分解之间建立联系，引出两个具体的问题，通过师生互动、讨论和分析得到猜想，进而通过作图分解、论证、多媒体演示等方式验证猜想中的任意性、存在性，得到定理的雏形。在这一过程中，可以培养学生数学逻辑推理能力。然后从数形两个角度说明基底的不唯一性，完善定理的内容。最后揭示定理的意义和应用价值，提高学生对知识体系的整体认识，采用引导启发的教学方式，使学生经历提出问题、观察猜想、验证推理、概括总结、理解定理、巩固应用的数学研究过程。
三、“平面向量基本定理”的教学过程设计
教学基本流程：情景导入→问题探究→类比再探→得出结论并探究“不共线”、“任意性”、“唯一性”→巩固应用→交流心得→布置作业。
（一）设置情景，导入新课。问题1：大家小时候都玩过滑梯吗？那你们有没有想过为什么我们能从高处沿着滑梯滑到地面呢？
预设：学生可能会用学过的物理知识去解释，是因为重力的分解。教师引导学生再将这个问题转化为数学问题：一个向量分解成两个方向上的向量，那反过来说就是兩个方向上的向量可以表示同一平面内的某一个向量。
问题2：不共线的两个向量是否可以表示平面内的任意向量？
[设计意图]根据学生认知特点、已有的生活经验和数学现实，从学生熟悉的力的分解和合成等物理背景出发，帮助他们构造认知引导学生思考：对于给定平面内任一向量，是否可以类似地进行分解和合成？从而将目标引向教学主题。
（二）问题探究，得出结论。根据问题2引导学生动手做图，并利用多媒体进行演示（如图2）：
1.定起点——在平面内任取一点O；
2.平移——将三个向量平移到同一起点O；
3.构造——平行四边形；
4.共线——向量共线定理。
探究结论：不共线的两个向量可以表示平面内的任意向量，并且向量之间的关系表达式为。
[设计意图]在这一环节中通过数学实验，让学生动手做图，自主探索，积极思考，大胆概括，向学生渗透了数形结合的思想，体现了数学化思想。
（三）引领反思，类比再探。问题3：在问题2中我们给定的是两个不共线的向量，那么两个共线向量可以表示任意向量吗？
预设：学生对该问题可能会判断不清，教师要给予及时的指导解释：若两个共线的向量可以表示，那么只能是与共线的那些向量，而不是任意的向量。得出结论：平面内两个共线向量不能表示任意向量。
[设计意图]新课程标准中对平面向量基本定理的要求是了解，而本节课使用了两个问题去发现、验证和理解，一方面，希望学生能够认识到这个定理的价值；另一方面，希望学生通过这节课的探究，经历一个数学概念形成的过程，体会其中蕴含的数学化思维方式。
（四）总结规律，得出结论。问题4：根据以上探究请同学们归纳猜想平面向量基本定理。预设：（学生交流讨论，教师启发引导）若是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。
问题5：向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，这组基底是否唯一？
预设：（学生讨论并回答）此时教师利用几何画板在图2的基础上再次作图（如图3）过点O再任意作出两个向量，再构建一个平行四边形，会发现这组向量也可以表示任意的向量，即也是表示任意向量的一组基底。探究结论：基底不唯一。
[设计意图]首先通过师生的共同探究，由学生根据探究口述定理，然后教师进行完善并归纳平面向量的基本定理，而且在探究的整个过程中学生都处于思维活跃的状态，定理中需要教师“一个定理，三项注意”的提醒，如：“不共线”、“唯一”、“不唯一”，这些在前面的探究中都已经很好的展示并解决，学生已经主动构建了知识，这样的教学是非常有效的。
（五）巩固应用，交流心得。例 已知向量，求作向量。
问题6：这节课学习了什么内容？有哪些关键词？要注意哪些问题？
（六）任务后延，拓展探究。作业：①必做题：第23页，第2题，②选做题：第23页，第3题。
[设计意图]必做题是对课内知识的巩固，选做题是为了让学有余力的学生能够有充分的发展空间。
（七）教学反思。本节课的设计有三个指导思想，分别是：发现和认识平面向量基本定理的形成过程；探究平面向量基本定理中的“三项注意”；处理好数学抽象与直观图像的关系。结合弗赖登塔尔的现实数学教育观：数学教学就是要通过“数学化”的方式来完成，其中最有效的方法就是引导学生“再创造”。只有这样教学才能有好的效果，学生才能深入认识新概念新思想。
参考文献：
[1]方均斌.数学教学设计与案例分析[M].杭州：浙江大学出版社，2012.
[2]张奠宙.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2016.
[3]刘绍学普通高中课程标准教科书A版·数学3（必修）教师教学用书[M].北京：人民出版社，2007.
[4]李斐真.试论弗莱登塔尔的数学教育思想及其启示[J].宁波教育学院学报，2002.
我国的基础教育正逐步由应试教育向素质教育全面推进，由此带来了教育观念、教育思想等方面的转变。荷兰数学家弗莱登塔尔认为数学教育的主要特征是：“现实、数学化、再创造”，并指出：数学教育应是现实数学的教育；数学教育的目标应是学会“数学化”；“再创造”的核心是数学过程的再现。他的这些数学教育思想对我国数学素质教育有一定的启示。
二、基于数学教育思想对“平面向量基本定理”的认识
（一）对情境的认识。弗赖登塔尔的数学化理论告诉我们，学生数学概念的习得应架构在他们已知的周围世界里，数学教育就是要联系生活的现实，学生的现实，教师的现实，要引导学生从现实世界的问题着手。因此，教材上的实例对于学生而言，不容易直观地体验与感受到定理的意义，基于此，在教学设计中从情景问题、与实际生活相联系的问题出发，重新优化整合，构造与学生生活密切相关的数学现实，从而发展学生的数学现实。
（二）对平面向量基本定理的认识。教材首先引导学生作图研究同一平面内两个不共线的向量与任意向量的关系，通过向量线性运算的性质得出结论，最后呈现出平面向量基本定理的概念。从学生来看，平面向量基本定理的学习已经超过学生关于平面向量的认知水平和接受能力，成为学生学习过程中难以理解和掌握的内容。从教学来看，定理中的一些逻辑词汇，如“任意”“有且只有”“不唯一”等，难以传授，这就使其教学常采用定理的表述—解释—证明—应用模式，这样的讲义方式似乎与概念学习的“数学化”过程不相符，不利于学生概念的形成，还有可能会造成理解的偏离。本节课从情景问题出发，从现实数学的视角引入新课，引导学生在力的分解与向量的分解之间建立联系，引出两个具体的问题，通过师生互动、讨论和分析得到猜想，进而通过作图分解、论证、多媒体演示等方式验证猜想中的任意性、存在性，得到定理的雏形。在这一过程中，可以培养学生数学逻辑推理能力。然后从数形两个角度说明基底的不唯一性，完善定理的内容。最后揭示定理的意义和应用价值，提高学生对知识体系的整体认识，采用引导启发的教学方式，使学生经历提出问题、观察猜想、验证推理、概括总结、理解定理、巩固应用的数学研究过程。
三、“平面向量基本定理”的教学过程设计
教学基本流程：情景导入→问题探究→类比再探→得出结论并探究“不共线”、“任意性”、“唯一性”→巩固应用→交流心得→布置作业。
（一）设置情景，导入新课。问题1：大家小时候都玩过滑梯吗？那你们有没有想过为什么我们能从高处沿着滑梯滑到地面呢？
预设：学生可能会用学过的物理知识去解释，是因为重力的分解。教师引导学生再将这个问题转化为数学问题：一个向量分解成两个方向上的向量，那反过来说就是兩个方向上的向量可以表示同一平面内的某一个向量。
问题2：不共线的两个向量是否可以表示平面内的任意向量？
[设计意图]根据学生认知特点、已有的生活经验和数学现实，从学生熟悉的力的分解和合成等物理背景出发，帮助他们构造认知引导学生思考：对于给定平面内任一向量，是否可以类似地进行分解和合成？从而将目标引向教学主题。
（二）问题探究，得出结论。根据问题2引导学生动手做图，并利用多媒体进行演示（如图2）：
1.定起点——在平面内任取一点O；
2.平移——将三个向量平移到同一起点O；
3.构造——平行四边形；
4.共线——向量共线定理。
探究结论：不共线的两个向量可以表示平面内的任意向量，并且向量之间的关系表达式为。
[设计意图]在这一环节中通过数学实验，让学生动手做图，自主探索，积极思考，大胆概括，向学生渗透了数形结合的思想，体现了数学化思想。
（三）引领反思，类比再探。问题3：在问题2中我们给定的是两个不共线的向量，那么两个共线向量可以表示任意向量吗？
预设：学生对该问题可能会判断不清，教师要给予及时的指导解释：若两个共线的向量可以表示，那么只能是与共线的那些向量，而不是任意的向量。得出结论：平面内两个共线向量不能表示任意向量。
[设计意图]新课程标准中对平面向量基本定理的要求是了解，而本节课使用了两个问题去发现、验证和理解，一方面，希望学生能够认识到这个定理的价值；另一方面，希望学生通过这节课的探究，经历一个数学概念形成的过程，体会其中蕴含的数学化思维方式。
（四）总结规律，得出结论。问题4：根据以上探究请同学们归纳猜想平面向量基本定理。预设：（学生交流讨论，教师启发引导）若是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。
问题5：向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，这组基底是否唯一？
预设：（学生讨论并回答）此时教师利用几何画板在图2的基础上再次作图（如图3）过点O再任意作出两个向量，再构建一个平行四边形，会发现这组向量也可以表示任意的向量，即也是表示任意向量的一组基底。探究结论：基底不唯一。
[设计意图]首先通过师生的共同探究，由学生根据探究口述定理，然后教师进行完善并归纳平面向量的基本定理，而且在探究的整个过程中学生都处于思维活跃的状态，定理中需要教师“一个定理，三项注意”的提醒，如：“不共线”、“唯一”、“不唯一”，这些在前面的探究中都已经很好的展示并解决，学生已经主动构建了知识，这样的教学是非常有效的。
（五）巩固应用，交流心得。例 已知向量，求作向量。
问题6：这节课学习了什么内容？有哪些关键词？要注意哪些问题？
（六）任务后延，拓展探究。作业：①必做题：第23页，第2题，②选做题：第23页，第3题。
[设计意图]必做题是对课内知识的巩固，选做题是为了让学有余力的学生能够有充分的发展空间。
（七）教学反思。本节课的设计有三个指导思想，分别是：发现和认识平面向量基本定理的形成过程；探究平面向量基本定理中的“三项注意”；处理好数学抽象与直观图像的关系。结合弗赖登塔尔的现实数学教育观：数学教学就是要通过“数学化”的方式来完成，其中最有效的方法就是引导学生“再创造”。只有这样教学才能有好的效果，学生才能深入认识新概念新思想。
参考文献：
[1]方均斌.数学教学设计与案例分析[M].杭州：浙江大学出版社，2012.
[2]张奠宙.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2016.
[3]刘绍学普通高中课程标准教科书A版·数学3（必修）教师教学用书[M].北京：人民出版社，2007.
[4]李斐真.试论弗莱登塔尔的数学教育思想及其启示[J].宁波教育学院学报，2002.