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“有余数除法”是人教版实验教材三年级上册的内容，是“表内除法”的延伸和发展，是学生学习多位数除法的基础。教材内容抽象、概念性强，学生刚学过表内除法，已经习惯用乘法口诀求商，不容易理解“余数”概念，对于除法不能直接从乘法口诀求商有许多困惑。因此，如何让学生获得鲜明的表象，建立“余数”的概念，通过数形结合等方式体验有余数除法的含义，并在试商、调商计算技能方面获得一定的基础？笔者对此进行了有效的教学尝试。
【教学过程】
一、 摆几个正方形？多几根？
师（出示一捆小棒）：4根小棒能搭一个正方形，用老师手中的小棒搭独立的小正方形，会有怎样的结果？
生：摆了几个正方形后，会多几根。
生：摆了几个后会少几根。
生：也可能会正好摆几个正方形。
师：你能举例来说明刚才的想法吗？
生：如果是8根正好搭2个正方形，算式是8÷4=2（个）。（师用小棒演示后写算式）
生：24根正好搭6个正方形，算式是24÷4=6（个）。
师：你能举一个多几根的例子吗？
生：5根摆１个多1根。
师：你是怎么想的？
生：１个正方形是4根，多1根。
生：9根也是多1根。
师：哦？怎么想的？
生：２个是8根，9－8＝1。
师：老师用小棒搭出来看看。（演示）
生：13根也是多1根。
师：怎么想的？
生：9根多１根，13比9多4，正好多搭１个。
生：我补充，搭3个用12根，那么13根就多1根。
师：13根小棒搭正方形是这个结果，那么你能用算式表示出来吗？
生：3×4＝12（根），13－12＝1（根）。
生：我是这样想出来的：3×4 1=13（根）。
生：我是算出来的：（13－1）÷4=3（个）。
生：我是算出来的：13÷4=3（个）……1（根）。
师：同学们，你能看懂这里的算式吗？你能说说每个算式的意义吗？
生：前3个算式能看懂，最后的算式看不懂。
师：这个算式表示的意思其实与前边的大致一样，就是有13根小棒，每4根正好搭1个正方形，能搭3个还多1根，这里多出来的“1”就是余数。
（评析：从开放式的问题入手，让学生感受到有余数除法只是平均分中的一种特殊情况。学生在用4根小棒搭1个正方形的活动过程中，初步获得了“余数”概念的表象支撑，为抽象出“余数”概念埋下了伏笔。）
二、 你会直接列式吗？
师：我们再来想，18根又能搭几个正方形呢？你是怎么得到的？会列式的可直接列算式，不会的可先用小棒摆一摆，再列式。
生：我是想出来的：4×4＝16，18－16＝2，所以18÷4=4（个）……2（根）。
师：真好，其他同学能说说吗？（同桌互说）
师：23根小棒能摆几个？用算式表示。
生：23÷4=5（个）……3（根）。
师：怎么想的？
生：4×5＝20，23－20＝3。
教师出示下列算式，学生汇报。
14÷4＝ 19÷4＝ 25÷4＝
（评析：摆小棒是一个方法，但更多的是通过“乘、减”两步得到的，这里其实已经涉及到了“试商”这一层的意思了。由于前期小棒的操作对感知余数有了一定的基础，试商这个难点也变得水到渠成。）
三、 你发现了什么规律？
师：同学们，你能在脑中用9根到20根的小棒独立搭正方形吗？分别有怎样的结果？能用算式表示吗？（生思考并写算式）
生汇报： 9÷4＝2（个）……1（根）
10÷4＝2（个）……2（根）
11÷4＝2（个）……3（根）
12÷4＝3（个）
13÷4＝3（个）……1（根）
14÷4＝3（个）……2（根）
15÷4＝3（个）……3（根）
16÷4＝4（个）
17÷4＝4（个）……1（根）
18÷4＝4（个）……2（根）
19÷4＝4（个）……3（根）
20÷4＝5（个）
师：观察上面的商和余数，你有什么想法？
生：12÷4＝3（个），可以看成是余0根。
生：余数是1、2、3，1、2、3重复。
师：为什么余数只出现1、2、3，不出现4、5呢？
生：因为余1、2、3根的话，不够搭正方形了，多4根的话，还可以搭1个正方形，多5根的话，还可以用其中的4根搭1个正方形，还多1根。
师：余数和除数的大小有什么关系？
生：余数不能比除数大。
生：余数要比除数小。
……
（评析：脑中搭正方形在内容上与操作相似，但体现了不同的思维水平，加深了学生对余数意义的理解。从小棒的实际操作到数学算式，学生经历了横向数学化的过程，通过摆“9根、10根……20根小棒”，学生经历了纵向数学化的学习过程。从实物小棒图到头脑小棒图，不管是多1根、多2根、多3根，都不够搭１个正方形。学生逐步建构起了“余数要比除数小”的概念。）
【总评】
“余数”是一个抽象的概念，在教学中，教师艺术化地处理了这部分知识的教学，通过建构直观、形象的心智图像，使抽象问题具体化，隐性问题显性化。很好地利用了学生的认知差异和思维惯性引起的矛盾冲突，诱导学生在探索过程中产生一种顿悟与反思。
例如，用小棒搭正方形是学生熟悉并喜欢的活动，用4根小棒可以搭成1个正方形，5根小棒搭完１个正方形后多了1根，6根小棒搭完1个正方形后就多了2根，……学生在操作活动中自然获得了“余数”概念的表象支撑，建立了余数的初步模型。又如，在第三部分“你发现了什么规律”中，教师提出要求“观察上面的商和余数，你有什么想法”，让学生在观察比较中，知道了“余数比除数小”的道理，有效地突破了教学的重点与难点。
总之，教师在教学中要根据数学知识的特点和儿童的年龄特点，通过直观形象的教具展示、学具操作等形式，使学生积极主动参与学习，从而构建起新的知识体系。同时，通过心智图像合理建构的训练，提高学生的直观“透视”能力和想象能力，进而提高其形象思维能力，为接下来的“有余数除法的计算”教学埋下伏笔。
（浙江省桐乡市龙翔小学 314504）
【教学过程】
一、 摆几个正方形？多几根？
师（出示一捆小棒）：4根小棒能搭一个正方形，用老师手中的小棒搭独立的小正方形，会有怎样的结果？
生：摆了几个正方形后，会多几根。
生：摆了几个后会少几根。
生：也可能会正好摆几个正方形。
师：你能举例来说明刚才的想法吗？
生：如果是8根正好搭2个正方形，算式是8÷4=2（个）。（师用小棒演示后写算式）
生：24根正好搭6个正方形，算式是24÷4=6（个）。
师：你能举一个多几根的例子吗？
生：5根摆１个多1根。
师：你是怎么想的？
生：１个正方形是4根，多1根。
生：9根也是多1根。
师：哦？怎么想的？
生：２个是8根，9－8＝1。
师：老师用小棒搭出来看看。（演示）
生：13根也是多1根。
师：怎么想的？
生：9根多１根，13比9多4，正好多搭１个。
生：我补充，搭3个用12根，那么13根就多1根。
师：13根小棒搭正方形是这个结果，那么你能用算式表示出来吗？
生：3×4＝12（根），13－12＝1（根）。
生：我是这样想出来的：3×4 1=13（根）。
生：我是算出来的：（13－1）÷4=3（个）。
生：我是算出来的：13÷4=3（个）……1（根）。
师：同学们，你能看懂这里的算式吗？你能说说每个算式的意义吗？
生：前3个算式能看懂，最后的算式看不懂。
师：这个算式表示的意思其实与前边的大致一样，就是有13根小棒，每4根正好搭1个正方形，能搭3个还多1根，这里多出来的“1”就是余数。
（评析：从开放式的问题入手，让学生感受到有余数除法只是平均分中的一种特殊情况。学生在用4根小棒搭1个正方形的活动过程中，初步获得了“余数”概念的表象支撑，为抽象出“余数”概念埋下了伏笔。）
二、 你会直接列式吗？
师：我们再来想，18根又能搭几个正方形呢？你是怎么得到的？会列式的可直接列算式，不会的可先用小棒摆一摆，再列式。
生：我是想出来的：4×4＝16，18－16＝2，所以18÷4=4（个）……2（根）。
师：真好，其他同学能说说吗？（同桌互说）
师：23根小棒能摆几个？用算式表示。
生：23÷4=5（个）……3（根）。
师：怎么想的？
生：4×5＝20，23－20＝3。
教师出示下列算式，学生汇报。
14÷4＝ 19÷4＝ 25÷4＝
（评析：摆小棒是一个方法，但更多的是通过“乘、减”两步得到的，这里其实已经涉及到了“试商”这一层的意思了。由于前期小棒的操作对感知余数有了一定的基础，试商这个难点也变得水到渠成。）
三、 你发现了什么规律？
师：同学们，你能在脑中用9根到20根的小棒独立搭正方形吗？分别有怎样的结果？能用算式表示吗？（生思考并写算式）
生汇报： 9÷4＝2（个）……1（根）
10÷4＝2（个）……2（根）
11÷4＝2（个）……3（根）
12÷4＝3（个）
13÷4＝3（个）……1（根）
14÷4＝3（个）……2（根）
15÷4＝3（个）……3（根）
16÷4＝4（个）
17÷4＝4（个）……1（根）
18÷4＝4（个）……2（根）
19÷4＝4（个）……3（根）
20÷4＝5（个）
师：观察上面的商和余数，你有什么想法？
生：12÷4＝3（个），可以看成是余0根。
生：余数是1、2、3，1、2、3重复。
师：为什么余数只出现1、2、3，不出现4、5呢？
生：因为余1、2、3根的话，不够搭正方形了，多4根的话，还可以搭1个正方形，多5根的话，还可以用其中的4根搭1个正方形，还多1根。
师：余数和除数的大小有什么关系？
生：余数不能比除数大。
生：余数要比除数小。
……
（评析：脑中搭正方形在内容上与操作相似，但体现了不同的思维水平，加深了学生对余数意义的理解。从小棒的实际操作到数学算式，学生经历了横向数学化的过程，通过摆“9根、10根……20根小棒”，学生经历了纵向数学化的学习过程。从实物小棒图到头脑小棒图，不管是多1根、多2根、多3根，都不够搭１个正方形。学生逐步建构起了“余数要比除数小”的概念。）
【总评】
“余数”是一个抽象的概念，在教学中，教师艺术化地处理了这部分知识的教学，通过建构直观、形象的心智图像，使抽象问题具体化，隐性问题显性化。很好地利用了学生的认知差异和思维惯性引起的矛盾冲突，诱导学生在探索过程中产生一种顿悟与反思。
例如，用小棒搭正方形是学生熟悉并喜欢的活动，用4根小棒可以搭成1个正方形，5根小棒搭完１个正方形后多了1根，6根小棒搭完1个正方形后就多了2根，……学生在操作活动中自然获得了“余数”概念的表象支撑，建立了余数的初步模型。又如，在第三部分“你发现了什么规律”中，教师提出要求“观察上面的商和余数，你有什么想法”，让学生在观察比较中，知道了“余数比除数小”的道理，有效地突破了教学的重点与难点。
总之，教师在教学中要根据数学知识的特点和儿童的年龄特点，通过直观形象的教具展示、学具操作等形式，使学生积极主动参与学习，从而构建起新的知识体系。同时，通过心智图像合理建构的训练，提高学生的直观“透视”能力和想象能力，进而提高其形象思维能力，为接下来的“有余数除法的计算”教学埋下伏笔。
（浙江省桐乡市龙翔小学 314504）