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一、运用公理1判断直线在平面内
例1质检人员在检测地面砖是否铺的平整，通常把木工尺平放在地面砖铺的间隙间检测木工尺与地面砖是否存在间隙，若没有间隙，则说明地面砖铺地很平整。其理论依据是什么？
分析：考虑木工尺是否在地面砖所在的平面内，联系公理1进行分析。
解：上述检测方法其实就是利用公理1的思想，若地面砖铺得很平整，就可以把地面砖看成一个平面，把木工尺当作一条直线，直线上有两点在该平面内，则这条直线上的所有点都在该平面内，则木工尺与地面间也就没有间隙。
注：公理1不仅可以判断直线是否在平面内，还可以判断点是否在平面内。
二、运用公理2确定平面
例2为什么在日常生产生活中，很多物体都采用三角形结构，如相机的三脚架，起重机的底座等？
分析：可联想到三角形的稳定性，而三角形的稳定性源于三个顶点的稳定性，进而联系到公理2分析。
解：由公理2的内容及问题所述，可以把相机的三脚架以及起重机的底座与地面接触的点看作不共线的三点，因此可以确定一个平面，所以在日常生产生活中，很多物体都采用三角形结构。
问题：你能利用公理2分析这幅图（如图1所示）的原理吗？
而且给出了这样的平面具有唯一性，即“有且只有一个平面”。另外，该公理还可以判断直线与平面的位置关系，如不共线的三点中任意取两点可以确定一条直线，则这条直线一定在不共线的三点确定的平面内。
公理2及三个推论都是确定一个平面的依据。
三、利用公理2及三个推论证明多线共面
例3证明两两相交且不共点的三条直线共面。
分析：考虑公理2及推论，可以先说明其中两条直线可以确定一个平面內，然后证明第三条直线也在该平面内即可。
如图2所示，直线l1，l2，l3两两相交且不共点，求证：直线l1，l2，l3在同一平面β内。
证明：因为l1∩l2=C，所以l1和l2确定一个平面β。
因为l3∩l2=B，所以B∈l2。又l2β，所以B∈β。
同理可证A∈β。又因A∈l3，B∈l3，所以l3β。
所以直线l1，l2，l3在同一平面β内。
四、利用公理3确定两个平面的交线
例4在大会选举中，经常会有投票环节，将选票投入投票箱的过程中，会出现如下现象，如图3所示，请你利用所学习的空间几何知识进行解释。
分析：将选票与投票箱上面看作两个平面，当选票一角与投票箱上面只有一个公共点时，可断定两平面必有一条交线，即可联系公理3。
解：可将选票与投票箱抽象成两个平面，用两个平面表示上述图形（如图4）：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就可以确定两个平面的交线。
注：公理3既是判断两个平面是否相交的依据，又可判定点在直线上，如点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在直线上。
五、利用公理3证明多点共线
例5如图5所示，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和AD的中点，G，H分别是在BC、CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2，且GE与HF相交于点P。求证：P，A，C三点共线。
分析：要证明三点共线，即证明三个点同时在两个平面内，因此联系到公理3，两个平面的所有公共点都在两个平面的交线上。
证明：因为E、F分别是AB和AD的中点，
所以EF∥BD。在△BCD中，BG∶GC=DH∶HC=1∶2，所以GH∥BD，则EF∥GH，因此，E、F、G、H四点共面。
又GE∩HF=P，GE平面ABC，HF平面ACD，
所以P∈平面ABC，P∈平面ACD，所以P为平面ABC与平面ACD的公共点，又平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线。
六、利用公理3证明多线共点
例6如图6，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于点K。求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点。
分析：要证明三条直线共点，可先说明两条直线共点，再说明该点在第三条直线上，证明点在直线上，即可联系公理3。
证明：因EH与FG相交于点K，所以K∈EH，又EH平面ABD，则K∈平面ABD。
同理可证：点K∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD。
因此，点K∈直线BD。即EH，BD，FG三条直线相交于同一点。
七、利用公理4证明线线平行
公理4给出了空间几何中线线平行的理论依据，这也是后面学习等角定理、异面直线的定义、线面平行和面面平行的基础，而且该公理是连接平面几何和空间几何的纽带，因为该公理在平面几何和空间几何中均成立。
例7如图7所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：要证明四边形是平行四边形，即根据平行四边形的定义及判定定理证明，在空间中证明直线与直线平行，即可联系到公理4中平行线的传递性。
证明：在△ABD中，因为E，H分别是AB，DA的中点，
所以EH∥BD且EH=12BD，
同理在△BCD中，FG∥BD且FG=12BD。
所以FG∥EH且FG=EH，所以四边形EFGH是平行四边形。
作者单位：河南师范大学附属中学
例1质检人员在检测地面砖是否铺的平整，通常把木工尺平放在地面砖铺的间隙间检测木工尺与地面砖是否存在间隙，若没有间隙，则说明地面砖铺地很平整。其理论依据是什么？
分析：考虑木工尺是否在地面砖所在的平面内，联系公理1进行分析。
解：上述检测方法其实就是利用公理1的思想，若地面砖铺得很平整，就可以把地面砖看成一个平面，把木工尺当作一条直线，直线上有两点在该平面内，则这条直线上的所有点都在该平面内，则木工尺与地面间也就没有间隙。
注：公理1不仅可以判断直线是否在平面内，还可以判断点是否在平面内。
二、运用公理2确定平面
例2为什么在日常生产生活中，很多物体都采用三角形结构，如相机的三脚架，起重机的底座等？
分析：可联想到三角形的稳定性，而三角形的稳定性源于三个顶点的稳定性，进而联系到公理2分析。
解：由公理2的内容及问题所述，可以把相机的三脚架以及起重机的底座与地面接触的点看作不共线的三点，因此可以确定一个平面，所以在日常生产生活中，很多物体都采用三角形结构。
问题：你能利用公理2分析这幅图（如图1所示）的原理吗？
而且给出了这样的平面具有唯一性，即“有且只有一个平面”。另外，该公理还可以判断直线与平面的位置关系，如不共线的三点中任意取两点可以确定一条直线，则这条直线一定在不共线的三点确定的平面内。
公理2及三个推论都是确定一个平面的依据。
三、利用公理2及三个推论证明多线共面
例3证明两两相交且不共点的三条直线共面。
分析：考虑公理2及推论，可以先说明其中两条直线可以确定一个平面內，然后证明第三条直线也在该平面内即可。
如图2所示，直线l1，l2，l3两两相交且不共点，求证：直线l1，l2，l3在同一平面β内。
证明：因为l1∩l2=C，所以l1和l2确定一个平面β。
因为l3∩l2=B，所以B∈l2。又l2β，所以B∈β。
同理可证A∈β。又因A∈l3，B∈l3，所以l3β。
所以直线l1，l2，l3在同一平面β内。
四、利用公理3确定两个平面的交线
例4在大会选举中，经常会有投票环节，将选票投入投票箱的过程中，会出现如下现象，如图3所示，请你利用所学习的空间几何知识进行解释。
分析：将选票与投票箱上面看作两个平面，当选票一角与投票箱上面只有一个公共点时，可断定两平面必有一条交线，即可联系公理3。
解：可将选票与投票箱抽象成两个平面，用两个平面表示上述图形（如图4）：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就可以确定两个平面的交线。
注：公理3既是判断两个平面是否相交的依据，又可判定点在直线上，如点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在直线上。
五、利用公理3证明多点共线
例5如图5所示，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和AD的中点，G，H分别是在BC、CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2，且GE与HF相交于点P。求证：P，A，C三点共线。
分析：要证明三点共线，即证明三个点同时在两个平面内，因此联系到公理3，两个平面的所有公共点都在两个平面的交线上。
证明：因为E、F分别是AB和AD的中点，
所以EF∥BD。在△BCD中，BG∶GC=DH∶HC=1∶2，所以GH∥BD，则EF∥GH，因此，E、F、G、H四点共面。
又GE∩HF=P，GE平面ABC，HF平面ACD，
所以P∈平面ABC，P∈平面ACD，所以P为平面ABC与平面ACD的公共点，又平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线。
六、利用公理3证明多线共点
例6如图6，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于点K。求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点。
分析：要证明三条直线共点，可先说明两条直线共点，再说明该点在第三条直线上，证明点在直线上，即可联系公理3。
证明：因EH与FG相交于点K，所以K∈EH，又EH平面ABD，则K∈平面ABD。
同理可证：点K∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD。
因此，点K∈直线BD。即EH，BD，FG三条直线相交于同一点。
七、利用公理4证明线线平行
公理4给出了空间几何中线线平行的理论依据，这也是后面学习等角定理、异面直线的定义、线面平行和面面平行的基础，而且该公理是连接平面几何和空间几何的纽带，因为该公理在平面几何和空间几何中均成立。
例7如图7所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：要证明四边形是平行四边形，即根据平行四边形的定义及判定定理证明，在空间中证明直线与直线平行，即可联系到公理4中平行线的传递性。
证明：在△ABD中，因为E，H分别是AB，DA的中点，
所以EH∥BD且EH=12BD，
同理在△BCD中，FG∥BD且FG=12BD。
所以FG∥EH且FG=EH，所以四边形EFGH是平行四边形。
作者单位：河南师范大学附属中学