论文部分内容阅读
每次考完试，总听好多同学说：“那道题我看错了.”或者是“哎呀，我想得太多了.”由于自己的粗心，没看清题意就匆匆动手，或者是心中把考试看得太过神圣，认为凡考必难，以致于眼前一片茫茫然，不知从何下手.这些都是直接影响学生考试能力正常发挥的主要因素.要避免这些，在考场上“英雄找到用武之地”，能最大限度地发挥自己的能力，首先是调整好心态，认真读题，理清题意，搞清各条件之间关系，顺题自然，找到解题的方法.而这种方法，定是最基本最自然的通法，是顺应自己思维惯性的方法.无须技巧，只因自然，故而学生才能想得到.下面，笔者就一些题的解法与大家一起商讨.
例1 （2011年陕西）设集合M＝{y|y=|cos2x-sin2x|,x∈
R}，
N=
{x||x-1 i|<2,i为度数单位，x∈
R}
,则M∩N=.
学生做此题，应该不算困难，但事实上多数同学弃之不做，或一做就错.原因是不认真读题，不懂题意.此题只不过是求两个集合的交集，而这两个集合均为数集，因而只须分别求那两个集合中数的范围即可.再者，碰到这一类题往往都关注的是集合是什么集合，代表元是什么？是数集，自然就看是什么样的数.
解:M={y|y=|cos2x|x∈
R}={y-1≤y≤1},N=
{x||x+i|<2,i为度数单位，x∈
R}={x|x2+1<2}=
{x|-1 所以M∩N={x|0≤x<1}.
因此，解题时要冷静心态，认真读题，理清题意，搞清目标，顺其自然，顺题自然，才是正道.
例2 （2012年安徽）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念的交换，任意两个同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
（A） 1或3 （B）1或4 （C） 2或3 （D） 2或4
学生做此题时，心中多多少少有点忐忑，感到能做但又不知从何入手.原因是想得太多了，其实静下心来，理清题意，6位同学两两交换一共需要15次，而现在只有13次，少两次，少哪两次呢？两次交换涉及到几个人？最少3人最多4人.共有两种情况，这就找到了分类的标准.从而体现了数学中的分类讨论思想.自然而然地思路就出来了，这种思路又如何体现呢？而解决此类问题最基本最通常的方法是枚举法，6个同学，自然而然A、B、C、D、E、F，任意两位同学之间最多交换一次，一一列举，自然而然，使问题得以顺利解决.一下子就找到突破口.
解：设6位同学分别为A、B、C、D、E、F，相互交换礼物的所有组合有15种，列举如下：
AB、AC、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF
已知6位同学之间共进行13次交换，所以在上面15种情况中要划去2种
（1）划去两种元素完全不同，不妨设划去EF，CD，此时A收到5份，B收到5份，C收到4份，D收到4份，E收到4份，F收到4份.
（2）划去两种元素有1个相同，不妨设划去DE，EF，此时A收到5份，B收到5份，C收到5份，D收到4份，E收到4份，F收到3份.
故收到4份纪念品的同学人数为4个或2个，综上，答案为(D).
此题运用解决这一类题最常用的枚举法，一一列举，轻松自然.
例3 (2012年高考(山东理)) 在等差数列{an} 中，a3+a4+a5=84，a9=73.
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列{an} 中落入区间（9m ，9
2m）内的项的个数记为bm，求数列{bm} 的前m 项和Sm.
第一问学生都能顺利解决，做第二问就有点懵了，不知从何下手，认真读题，题意很是简单直接，关键是理解落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm， 自然而然，就是数清介于（9m，92m）内的数，立刻得出式子
9m<9n-8<92m，从而就有了
bm=92m-1-9m-1
，再求和就顺理成章.
解析： （Ⅱ）由（Ⅰ）知an=9n-8.对任意m∈N*，9m<9n-8<92m，
则9m+8<9n<92m+8，
即9m-1+8 9 92m-1+8 9
，而n∈N*，
由题意可知bn=92m-1-9m-1,
于是Sm=b1+b2+…+bm=91+93+…+9
2m-1-(90+91+…+9m-1)=
9-92m+1 1-92
-1-9m 1-9
=92m+1-9 80
-9m-1 8
=92m+1-10•9m+1 80
=92m+1+1 80
-9m 8.
做此题，只是顺着题目的意思，跟着题意走，没有艰难的变形及高超的处理技巧，自自然然得出答案.
例4 已知二次函数
f (x)=ax2+(b-1)x+c集合
{x|f (x)=x}={1},
设在［-2，２］上的最大值、最小值分别是Ｍ、m，记h(a)=M+m,
当a≥1时，求h(a)的最小值.
奇怪的是，这是学生眼中的所谓难题.有的学生感到无从下手；在最近的考试中，两个班123人，只有5个人做对.做题情况令人担忧.过后再翻学生卷子，发现最主要问题是多数学生对题中的第一个条件理解不到位，不知那是什么意思或者说不知如何运用这个条件.其实只需学生反复读题，不就是说一元二次方程
ax2+(b-1)x+c=0
根为1，而一元二次方程的根有两个，不就是两个相等的根吗?利用一元二次方程根与系数的关系，或者利用一元二次方程根的判别式为零自然而然就找到a,b,c之间的关系.从而就打开此题的突破口.在学生得出了a,b,c的关系之后，再加上题中a≥1这个条件，确定对称轴的位置而使此题顺利解决.
解:（1）由集合
{x|f (x)=x}={1}知已知方程有两个相等实根1，
即方程ax2+(b-1)x+c=0存在两等根x1=x2=1，
Δ=(b-1)2-4ac=0
a+b-1+c=0
b=1-2a
c=a
f (x)=a(x-2a-1 2a )2+1-1 4a,
对称轴
x=1-1 2a
∈［1 2,1］,
x∈［-2,2］,所以h(a)=M+m=f (-2)+f (1-1 2a)=
9a-1 4a-1,
h(a)在［1,+m）上是增函数,
hmin
(a)=31 4.
作罢此题，掩卷沉思.很多时候学生不是不会做题，而是不知如何做题.做题就是关注题中各个条件的自然而然的关系，我们的任务是理顺这些关系，而非把我们的意志强加到这些关系之中，歪曲或者曲解这种关系.
以上几个例子只是从一个层面说明自然而然是一种解题的境界，要求做题时全身心投入，此时眼中除了此题再无其他，对题目的各种条件一一分析，得出各种条件与所求结论之间的因果关系，这一切原本是自自然然的关系，而由于我们的错误解读会错析题意，导致从此处难以到达彼岸.要做到自然，当然首先要求有着扎实的数学基础，对数学概念生成及概念本身都有着深刻的理解，不仅知其然，而且知其所以然.其次要求平时解题要注重培养自己的思维，强调各知识点之间的联系，注重解题反思与探讨总结，从而加深对知识的理解提升思维.再者就是平时训练时一定要强调通性通法，不过分追求技巧.
故解题时，冷静心态，读懂题意，搞清各条件之间的关系，顺其自然，顺题自然，从题目条件出发，自然而然.不需极其繁难的方法，高超的技巧，从题意出发，从基础出发，让解法自然而然地流露出来.因而解题最好的方法是最基本，最自然的方法：解题的最高境界是顺其自然，顺题自然.
例1 （2011年陕西）设集合M＝{y|y=|cos2x-sin2x|,x∈
R}，
N=
{x||x-1 i|<2,i为度数单位，x∈
R}
,则M∩N=.
学生做此题，应该不算困难，但事实上多数同学弃之不做，或一做就错.原因是不认真读题，不懂题意.此题只不过是求两个集合的交集，而这两个集合均为数集，因而只须分别求那两个集合中数的范围即可.再者，碰到这一类题往往都关注的是集合是什么集合，代表元是什么？是数集，自然就看是什么样的数.
解:M={y|y=|cos2x|x∈
R}={y-1≤y≤1},N=
{x||x+i|<2,i为度数单位，x∈
R}={x|x2+1<2}=
{x|-1
因此，解题时要冷静心态，认真读题，理清题意，搞清目标，顺其自然，顺题自然，才是正道.
例2 （2012年安徽）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念的交换，任意两个同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
（A） 1或3 （B）1或4 （C） 2或3 （D） 2或4
学生做此题时，心中多多少少有点忐忑，感到能做但又不知从何入手.原因是想得太多了，其实静下心来，理清题意，6位同学两两交换一共需要15次，而现在只有13次，少两次，少哪两次呢？两次交换涉及到几个人？最少3人最多4人.共有两种情况，这就找到了分类的标准.从而体现了数学中的分类讨论思想.自然而然地思路就出来了，这种思路又如何体现呢？而解决此类问题最基本最通常的方法是枚举法，6个同学，自然而然A、B、C、D、E、F，任意两位同学之间最多交换一次，一一列举，自然而然，使问题得以顺利解决.一下子就找到突破口.
解：设6位同学分别为A、B、C、D、E、F，相互交换礼物的所有组合有15种，列举如下：
AB、AC、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF
已知6位同学之间共进行13次交换，所以在上面15种情况中要划去2种
（1）划去两种元素完全不同，不妨设划去EF，CD，此时A收到5份，B收到5份，C收到4份，D收到4份，E收到4份，F收到4份.
（2）划去两种元素有1个相同，不妨设划去DE，EF，此时A收到5份，B收到5份，C收到5份，D收到4份，E收到4份，F收到3份.
故收到4份纪念品的同学人数为4个或2个，综上，答案为(D).
此题运用解决这一类题最常用的枚举法，一一列举，轻松自然.
例3 (2012年高考(山东理)) 在等差数列{an} 中，a3+a4+a5=84，a9=73.
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列{an} 中落入区间（9m ，9
2m）内的项的个数记为bm，求数列{bm} 的前m 项和Sm.
第一问学生都能顺利解决，做第二问就有点懵了，不知从何下手，认真读题，题意很是简单直接，关键是理解落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm， 自然而然，就是数清介于（9m，92m）内的数，立刻得出式子
9m<9n-8<92m，从而就有了
bm=92m-1-9m-1
，再求和就顺理成章.
解析： （Ⅱ）由（Ⅰ）知an=9n-8.对任意m∈N*，9m<9n-8<92m，
则9m+8<9n<92m+8，
即9m-1+8 9
，而n∈N*，
由题意可知bn=92m-1-9m-1,
于是Sm=b1+b2+…+bm=91+93+…+9
2m-1-(90+91+…+9m-1)=
9-92m+1 1-92
-1-9m 1-9
=92m+1-9 80
-9m-1 8
=92m+1-10•9m+1 80
=92m+1+1 80
-9m 8.
做此题，只是顺着题目的意思，跟着题意走，没有艰难的变形及高超的处理技巧，自自然然得出答案.
例4 已知二次函数
f (x)=ax2+(b-1)x+c集合
{x|f (x)=x}={1},
设在［-2，２］上的最大值、最小值分别是Ｍ、m，记h(a)=M+m,
当a≥1时，求h(a)的最小值.
奇怪的是，这是学生眼中的所谓难题.有的学生感到无从下手；在最近的考试中，两个班123人，只有5个人做对.做题情况令人担忧.过后再翻学生卷子，发现最主要问题是多数学生对题中的第一个条件理解不到位，不知那是什么意思或者说不知如何运用这个条件.其实只需学生反复读题，不就是说一元二次方程
ax2+(b-1)x+c=0
根为1，而一元二次方程的根有两个，不就是两个相等的根吗?利用一元二次方程根与系数的关系，或者利用一元二次方程根的判别式为零自然而然就找到a,b,c之间的关系.从而就打开此题的突破口.在学生得出了a,b,c的关系之后，再加上题中a≥1这个条件，确定对称轴的位置而使此题顺利解决.
解:（1）由集合
{x|f (x)=x}={1}知已知方程有两个相等实根1，
即方程ax2+(b-1)x+c=0存在两等根x1=x2=1，
Δ=(b-1)2-4ac=0
a+b-1+c=0
b=1-2a
c=a
f (x)=a(x-2a-1 2a )2+1-1 4a,
对称轴
x=1-1 2a
∈［1 2,1］,
x∈［-2,2］,所以h(a)=M+m=f (-2)+f (1-1 2a)=
9a-1 4a-1,
h(a)在［1,+m）上是增函数,
hmin
(a)=31 4.
作罢此题，掩卷沉思.很多时候学生不是不会做题，而是不知如何做题.做题就是关注题中各个条件的自然而然的关系，我们的任务是理顺这些关系，而非把我们的意志强加到这些关系之中，歪曲或者曲解这种关系.
以上几个例子只是从一个层面说明自然而然是一种解题的境界，要求做题时全身心投入，此时眼中除了此题再无其他，对题目的各种条件一一分析，得出各种条件与所求结论之间的因果关系，这一切原本是自自然然的关系，而由于我们的错误解读会错析题意，导致从此处难以到达彼岸.要做到自然，当然首先要求有着扎实的数学基础，对数学概念生成及概念本身都有着深刻的理解，不仅知其然，而且知其所以然.其次要求平时解题要注重培养自己的思维，强调各知识点之间的联系，注重解题反思与探讨总结，从而加深对知识的理解提升思维.再者就是平时训练时一定要强调通性通法，不过分追求技巧.
故解题时，冷静心态，读懂题意，搞清各条件之间的关系，顺其自然，顺题自然，从题目条件出发，自然而然.不需极其繁难的方法，高超的技巧，从题意出发，从基础出发，让解法自然而然地流露出来.因而解题最好的方法是最基本，最自然的方法：解题的最高境界是顺其自然，顺题自然.