在一个问题系统中,存在着n个量,使其余各量都可以用这n个量来表示,而这个n个量中的任何一个都不能用其它n-1个量来表示,我们就称这n个量为基本量。例如:三角形有三个基本量,直角三角形、等腰三角形均有两个基本量,正三角形仅有一个基本量,即多一个附加条件可以减少一个基本量;各类四边形的基本量个数如下表:
　　四边形
　　的形状 一般四边形 梯形 等腰梯形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
　　基本量
　　的个数 5 4 3 3 2 2 1
　　在解题时,把问题转化为关于“基本量”的有关问题并加以解决的方法就称为基本量方法。基本量方法在解题中有着广泛的应用,本文仅介绍如何用基本量方法证明平面几何问题。
　　例1,已知:△ABC中,AB=AC,∠A=100º,∠B的平分线交AC于D。(见图1)
　　图1 图2
　　求证:AD+BD=BC。
　　分析:△ABC中,AB=AC,∠A=100º,故本题仅有一个基本量,由图1可知,在AD、BD、BC中选择BD为基本量比较合理,即AD、BC为非基本量,一定可以用BD来表示。
　　证明:∵△ADB中,∠A=100º,∠ABD= ∠ABC=20º 。
　　∴ ,∴ 。
　　∴
　　
　　
　　
　　∵△BDC中,∠BDC=120º,∠C=40º,∴。
　　∴ ,∴AD+BD=BC成立。
　　例2,设P为正△ABC的外接圆的弧BC上的任意一点。求证:①AP=PB+P C;②AP2=AB2+PBPC。(见图2)
　　分析:如图2,可知AB、AP的长度确定后,这个图形就基本确定,故本题有两个基本量,不妨取AB、AP为基本量,即PB、PC为非基本量,令AB=a,AP=b,PB=x1,PC=x2,则只须证明xl+x2=b,xl x2=b2-a2;所以只须把xl+x2、xl x2用a、b表示出来,由此可联想到构造一个以x1、x2为根的一元二次方程。
　　证明:设AB=a,AP=b,PB=x1,PC=x2,△ABP中,AB2=PB2+PA2-2PBPAcos∠APB。
　　即a2=x12+b2-2xlbcos60º
　　∴x12-bxl+b2-a2=0
　　△APC中,同理可得x22-bx2+b2-a2=0。
　　∴x1、x2是关于x的方程x2-bx+b2-a2=0的两根。
　　∴x1+x2=b,x1x2=b2-a2,即AP=PB+PC。
　　AP2=AB2+PBPC成立。
　　例3,(第26届奥林匹克竞赛题)一个圆的圆心P在顶点共圆的四边形ABCD的AB边上,其它三边与该圆都相切,求证AD+BC=AB。
　　分析:由题可知,当AB∥CD时,四边形ABCD为等腰梯形,且BC、CD、DA均和圆P相切,此时本题至多有两个基本量,而今A和CD不一定平行,故本题至多有三个基本量,可选取∠A、∠B及圆P的半径为基本量。
　　证明:如图3,设BC、CD、DA分别与圆P相切于E、F、G点,连接PE、PF、PG、PC、PD,令∠A=α,∠B=β,PE=PF=PG=α,PE=PF=PG=α,则∠GDP=
　　 - ,∠PCE= - 。
　　Rt△APG中,AP= ,AG=αctgα。
　　Rt△BPE中,PB= ,BE=αctgβ。
　　Rt△DGP中,DG=PGctg∠CDP=αctg( - )=αtg 。
　　Rt△CEP中,CE=PFctg∠PCE=αctg( - )=αtg 。
　　∴AB=AP+PB= +
　　AD+CB=AG+GD+CE+EB
　　=αctgα+αtg +αtg +αctgβ
　　=α(ctgα+tg )+α(tgβ+tg )
　　=α( + )+α( + )