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“最值问题”属于近几年中考题中的热点问题，以“将军饮马问题”和“造桥选址问题”为典型案例，常借助轴对称或平移的性质将两条动线段转化到一条直线上来构造最值，其本质是“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”.在2016年数学中考考题中，此类考查题目很多，如山东济宁第22题、湖北鄂州第10题、山东滨州第23题、山东枣庄第25题，江苏苏州第9题等.近期的研习中，我惊奇地发现今年的中考题中还有一类“特殊”的最值问题，与“将军饮马问题”非常类似，却又有着自身的特点，形式新颖，设计精妙，催人深思.
1几个例题
例1（2016年徐州）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2 bx c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3），C（2，0）其对称轴与x轴交于点D.
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若点P为y轴上一个动点，连接PD，则12PB PD的最小值为.（节选）
例题解读：从学生已有的学习经验出发，在解答本例问题2时，学生首先想到的肯定是常用的“将军饮马”问题模型，即“a b”型最短问题，但问题中所求结论与此模型并不吻合，所求结论是“12PB PD”的最小值.因此，我们需要思考：
①12PB中的12如何体现？这种涉及到“一半”的问题一般与中线、中位线、取中点、构造比例等知识有关.因此我们关联思考三角形的中位线、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、30度角的正弦值、60度角的余弦值等知识点的应用.由于题目的条件暗示了∠ABO=30°，所以我们思考的角度也尽量往这方面靠近，通过30度角的正弦值的将12PB转化成线段PE.
②如何求PE PD的最小值？结合“将军饮马”问题模型，所构造的线段PE必须与PD有公共的端点，这样有利于构造三点共线来说明最短.
图1结合上述两个思考，我们可以简要地表示出本题的解答思路.如图1，过点P作PE⊥AB，交AB于点E，连接PD，由∠ABO=30°，PE⊥AB可得，PE=12PB，所以12PB PD的最小值即PE PD的最小值，当PE与PD共线时取得PE PD的最小值，即DE长.
我们不妨将这一种模型暂定为“a kb型”最短问题模型.其中，当k=1时就是“将军饮马”问题；当k=12就是上述题1中的问题模型.那么，在这种最短问题模型中，k还可以取其他值吗？
图2例2（2016年重庆B卷）如图2，二次函数y=12x2-2x 1的图象与一次函数y=kx b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO∶S四边形AONB=1∶48.
（1）求直线AB和直线BC的解析式；
（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F.当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH 22BH的值最小，求点H的坐标和GH 22BH的最小值；（节选）
本题第2问寻求结论是GH 22BH的值最小，参考上一问题可知，这一结论属于“a kb型”最短问题模型中k=22时的情况.类比上一题的中由k=12构造出30°角，那么k=22可以联想到45°角的正余弦值.思考问题的方式与上一题类似，现作如下简答：
由第1问可得，直线AB解析式为y=x 1，直线BC解析式为y=2x-5，B（6，7）.
图3如图3，设点P（x0，x0 1），所以D（x0 62，x0 1），所以PE=x0 1，PD=3-12x0，因为∠DPF固定不变，所以PF∶PD的值固定，所以PE×PF最大时，PE×PD也最大，PE×PD=（x0 1）（3-12x0）=
-12x02 52x0 3，所以当x0=52时，PE×PD最大，即：PE×PF最大.此时G（5，72）.因為△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，所以22BH=B1H，GH 22BH的最小值转化为求GH HB1的最小值，所以当GH和HB1在一条直线上时，GH HB1的值最小，此时H（5，6），最小值为7-72=72.
例3（2016年济南）如图4，抛物线y=ax2 （a 3）x 3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0 图4图5图6（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值；
（3）如图5，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°<α<90°），连接E′A、E′B，求E′A 23E′B的最小值.
本题第3问寻求结论是E′A 23E′B的值最小，参考上一问题可知，这一结论属于“a kb型”最短问题模型中k=23时的情况.此处省略前两个问题的解答过程，在第三个问题中，我们可以通过三角形相似，运用相似比例来转化，构造一条线段等于23E′B.
如图6中，在y轴上取一点M使得OM=43，因为OE′=2，OM·OB=43×3=4，所以OE′2=OM·OB，所以OE′OM=OBOE′，因为∠BOE′=∠MOE′，所以△MOE′∽△E′OB，所以ME′BE′=OE′OB=23，所以ME′=23BE′，所以AE′ 23BE′=AE′ E′M=AM，此时AE′ 23BE′最小，最小值为AM=42 432=4310. 2反思
2.1关联基本模型
例题中所呈现的最值问题与传统最值问题有些差异.由于在这种“a kb型”问题中，当k=1时就是“a b”型问题，因此我们可以把“将军饮马问题”看成此類最短问题的一种特殊情况，这种关系类似于一次函数与正比例函数之间的从属关系.当然，在教学中或网络中也有不少老师把所有的最短问题都归类为“将军饮马问题”，分原型、单动型、双动型、三动型、系数型等，笔者认为这样的分类也有一定的道理，只是分类角度不同而已.当然，提炼模型并非问题解决的重点，重点应当是思考模型的三重境界：“知其然”、“知其所以然”、“如何知其所以然”.
2.2彰显最短本质
“最短问题”是生活数学的一种体现，是透过实际问题看数学本质的一种途径.“最短问题”通常是以平移、旋转、翻折三大变换为手段，以“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个基本事实为依据，不断活跃在各类考题之中.细细梳理，数学问题与数学本质等之间的关系可通过如下关系图反映出来（见图7）.图7因此，解决此类“a kb型”最短问题的思路相对明确，在知识体系上与垂直、勾股、全等、相似等紧密相连，在操作上与平移、旋转、翻折三大变换有关，通过模型转化，实现两条线段“共线”，达到突显本质“两点之间，线段最短”之目的.
2.3深度拓展提升
从三个例题可以看出，在“a kb型”最短问题模型中，k的取值具有多样性，上述例题中已经出现了k=12、k=22和k=23的情况，k还可以取其他实数值，如k=2、k=34、k=1n等.现给出一些“a kb型”问题，供大家思考.
图8例4如图8，已知扇形AOB中，∠O=90°，AO=BO=12，点P是OB中点，点C在AO上，AC=2，点D为弧AB上的动点，求CD 2PD的值.
例5平面上有A（-4，-4）、B（4，2）两点，点C（1，3）是直线AB外一点，D在AB上移动，求3AD 5CD的最小值.
（提示：本题中3AD 5CD可以转化成5CD 35AD进行解答）
数学中考压轴题的解题源于数学的知识技能、抽象概括、逻辑推理等，源于数学思想、方法和策略的统摄，更需要数学常识、数学直观、合情推理和解题经验的积累.以中考中的各类最值问题为例，需要我们平时的教学中渗透模型思想和关联思考的能力，在思维受阻时寻求突破，在成功解题后的归纳反思.只有这样，学生的数学学习才能达到思维的胜境.而作为老师，我们不仅仅要教知识、教方法，更要建模型、练思维、提炼策略、渗透意识.只有认准最短问题的核心本质，将最值问题融合不同的知识体系、不同的问题情境、不同的数学思想方法等，多向拓展、创新设计、深入研究，才能进一步提升解题能力和科研水平.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2011.
[2]钱德春.活用解题策略，方入思维胜境[J].中学数学杂志，2014（2）：51-53.
[3]郦兴江.构建模型提炼策略，层级推进数学思考[J].中学数学教学参考，2015（12）：11-13.
[4]范建兵.追“本”溯源，品味“最短问题”[J].中学数学：2014（3）：91-95.
1几个例题
例1（2016年徐州）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2 bx c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3），C（2，0）其对称轴与x轴交于点D.
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若点P为y轴上一个动点，连接PD，则12PB PD的最小值为.（节选）
例题解读：从学生已有的学习经验出发，在解答本例问题2时，学生首先想到的肯定是常用的“将军饮马”问题模型，即“a b”型最短问题，但问题中所求结论与此模型并不吻合，所求结论是“12PB PD”的最小值.因此，我们需要思考：
①12PB中的12如何体现？这种涉及到“一半”的问题一般与中线、中位线、取中点、构造比例等知识有关.因此我们关联思考三角形的中位线、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、30度角的正弦值、60度角的余弦值等知识点的应用.由于题目的条件暗示了∠ABO=30°，所以我们思考的角度也尽量往这方面靠近，通过30度角的正弦值的将12PB转化成线段PE.
②如何求PE PD的最小值？结合“将军饮马”问题模型，所构造的线段PE必须与PD有公共的端点，这样有利于构造三点共线来说明最短.
图1结合上述两个思考，我们可以简要地表示出本题的解答思路.如图1，过点P作PE⊥AB，交AB于点E，连接PD，由∠ABO=30°，PE⊥AB可得，PE=12PB，所以12PB PD的最小值即PE PD的最小值，当PE与PD共线时取得PE PD的最小值，即DE长.
我们不妨将这一种模型暂定为“a kb型”最短问题模型.其中，当k=1时就是“将军饮马”问题；当k=12就是上述题1中的问题模型.那么，在这种最短问题模型中，k还可以取其他值吗？
图2例2（2016年重庆B卷）如图2，二次函数y=12x2-2x 1的图象与一次函数y=kx b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO∶S四边形AONB=1∶48.
（1）求直线AB和直线BC的解析式；
（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F.当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH 22BH的值最小，求点H的坐标和GH 22BH的最小值；（节选）
本题第2问寻求结论是GH 22BH的值最小，参考上一问题可知，这一结论属于“a kb型”最短问题模型中k=22时的情况.类比上一题的中由k=12构造出30°角，那么k=22可以联想到45°角的正余弦值.思考问题的方式与上一题类似，现作如下简答：
由第1问可得，直线AB解析式为y=x 1，直线BC解析式为y=2x-5，B（6，7）.
图3如图3，设点P（x0，x0 1），所以D（x0 62，x0 1），所以PE=x0 1，PD=3-12x0，因为∠DPF固定不变，所以PF∶PD的值固定，所以PE×PF最大时，PE×PD也最大，PE×PD=（x0 1）（3-12x0）=
-12x02 52x0 3，所以当x0=52时，PE×PD最大，即：PE×PF最大.此时G（5，72）.因為△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，所以22BH=B1H，GH 22BH的最小值转化为求GH HB1的最小值，所以当GH和HB1在一条直线上时，GH HB1的值最小，此时H（5，6），最小值为7-72=72.
例3（2016年济南）如图4，抛物线y=ax2 （a 3）x 3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值；
（3）如图5，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°<α<90°），连接E′A、E′B，求E′A 23E′B的最小值.
本题第3问寻求结论是E′A 23E′B的值最小，参考上一问题可知，这一结论属于“a kb型”最短问题模型中k=23时的情况.此处省略前两个问题的解答过程，在第三个问题中，我们可以通过三角形相似，运用相似比例来转化，构造一条线段等于23E′B.
如图6中，在y轴上取一点M使得OM=43，因为OE′=2，OM·OB=43×3=4，所以OE′2=OM·OB，所以OE′OM=OBOE′，因为∠BOE′=∠MOE′，所以△MOE′∽△E′OB，所以ME′BE′=OE′OB=23，所以ME′=23BE′，所以AE′ 23BE′=AE′ E′M=AM，此时AE′ 23BE′最小，最小值为AM=42 432=4310. 2反思
2.1关联基本模型
例题中所呈现的最值问题与传统最值问题有些差异.由于在这种“a kb型”问题中，当k=1时就是“a b”型问题，因此我们可以把“将军饮马问题”看成此類最短问题的一种特殊情况，这种关系类似于一次函数与正比例函数之间的从属关系.当然，在教学中或网络中也有不少老师把所有的最短问题都归类为“将军饮马问题”，分原型、单动型、双动型、三动型、系数型等，笔者认为这样的分类也有一定的道理，只是分类角度不同而已.当然，提炼模型并非问题解决的重点，重点应当是思考模型的三重境界：“知其然”、“知其所以然”、“如何知其所以然”.
2.2彰显最短本质
“最短问题”是生活数学的一种体现，是透过实际问题看数学本质的一种途径.“最短问题”通常是以平移、旋转、翻折三大变换为手段，以“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个基本事实为依据，不断活跃在各类考题之中.细细梳理，数学问题与数学本质等之间的关系可通过如下关系图反映出来（见图7）.图7因此，解决此类“a kb型”最短问题的思路相对明确，在知识体系上与垂直、勾股、全等、相似等紧密相连，在操作上与平移、旋转、翻折三大变换有关，通过模型转化，实现两条线段“共线”，达到突显本质“两点之间，线段最短”之目的.
2.3深度拓展提升
从三个例题可以看出，在“a kb型”最短问题模型中，k的取值具有多样性，上述例题中已经出现了k=12、k=22和k=23的情况，k还可以取其他实数值，如k=2、k=34、k=1n等.现给出一些“a kb型”问题，供大家思考.
图8例4如图8，已知扇形AOB中，∠O=90°，AO=BO=12，点P是OB中点，点C在AO上，AC=2，点D为弧AB上的动点，求CD 2PD的值.
例5平面上有A（-4，-4）、B（4，2）两点，点C（1，3）是直线AB外一点，D在AB上移动，求3AD 5CD的最小值.
（提示：本题中3AD 5CD可以转化成5CD 35AD进行解答）
数学中考压轴题的解题源于数学的知识技能、抽象概括、逻辑推理等，源于数学思想、方法和策略的统摄，更需要数学常识、数学直观、合情推理和解题经验的积累.以中考中的各类最值问题为例，需要我们平时的教学中渗透模型思想和关联思考的能力，在思维受阻时寻求突破，在成功解题后的归纳反思.只有这样，学生的数学学习才能达到思维的胜境.而作为老师，我们不仅仅要教知识、教方法，更要建模型、练思维、提炼策略、渗透意识.只有认准最短问题的核心本质，将最值问题融合不同的知识体系、不同的问题情境、不同的数学思想方法等，多向拓展、创新设计、深入研究，才能进一步提升解题能力和科研水平.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2011.
[2]钱德春.活用解题策略，方入思维胜境[J].中学数学杂志，2014（2）：51-53.
[3]郦兴江.构建模型提炼策略，层级推进数学思考[J].中学数学教学参考，2015（12）：11-13.
[4]范建兵.追“本”溯源，品味“最短问题”[J].中学数学：2014（3）：91-95.