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问题小船过河问题中，有这样一条极值规律：在v船 思考这条规律，参考书上一般是通过作图，用几何的方法得出结果的.对于学生来说，最直接的想法是假设船头航行方向的角度，先得出位移的表达式，再从代数的角度（三角函数的极值）进行思考，这方面的资料比较少.我就考虑给出代数证明，现证明如下.
证明设河宽为d，船速v1，水流速度v2，v2>v1，
根据題意，船头偏上游航行，设船头与垂直岸方向的夹角为θ，则有vy=v1cosθ，
vx=v2-v1sinθ，
v=（v1cosθ）2 （v2-v1sinθ）2，
过河时间t=d1vy=d1v1cosθ，
则过河距离
s=vt=（v1cosθ）2 （v2-v1sinθ）2 d1v1cosθ
=d（v1cosθ）2 （v2-v1sinθ）21（v1cosθ）2
=dv21cos2θ v22-2v1v2sinθ v21sin2θ1v21cos2θ
=dv21 v22-2v1v2sinθ1v21cosθ
=dv21 v22-2v1v2sinθ-v22cos2θ v22cos2θ1v21cos2θ
=dv21-2v1v2sinθ v22sin2θ v22cos2θ1v21cos2θ
=d（v1-v2sinθ）21v21cos2θ v221v21.
s要最小，则根号中的值最小，则
当v1-v2sinθ=0，即sinθ=v11v2时，smin=v21v1d，
sinα=d1smin=v11v2=sinθ，
则α=θ，所以v1⊥v.
启示这条规律，虽然用作图法来看非常直接，只是学生在看似接受的同时有一种茫然的表情，说明他们并不觉得这种方法有很大的说服力.基于物理学科的特点，物理教学要以数学为平台，要注重学生数学能力的培养，通过数学方法求极值，一方面复习相关的数学知识，一方面使结论更具有说服力，一举两得，这样学生能够知道规律的来龙去脉.
证明设河宽为d，船速v1，水流速度v2，v2>v1，
根据題意，船头偏上游航行，设船头与垂直岸方向的夹角为θ，则有vy=v1cosθ，
vx=v2-v1sinθ，
v=（v1cosθ）2 （v2-v1sinθ）2，
过河时间t=d1vy=d1v1cosθ，
则过河距离
s=vt=（v1cosθ）2 （v2-v1sinθ）2 d1v1cosθ
=d（v1cosθ）2 （v2-v1sinθ）21（v1cosθ）2
=dv21cos2θ v22-2v1v2sinθ v21sin2θ1v21cos2θ
=dv21 v22-2v1v2sinθ1v21cosθ
=dv21 v22-2v1v2sinθ-v22cos2θ v22cos2θ1v21cos2θ
=dv21-2v1v2sinθ v22sin2θ v22cos2θ1v21cos2θ
=d（v1-v2sinθ）21v21cos2θ v221v21.
s要最小，则根号中的值最小，则
当v1-v2sinθ=0，即sinθ=v11v2时，smin=v21v1d，
sinα=d1smin=v11v2=sinθ，
则α=θ，所以v1⊥v.
启示这条规律，虽然用作图法来看非常直接，只是学生在看似接受的同时有一种茫然的表情，说明他们并不觉得这种方法有很大的说服力.基于物理学科的特点，物理教学要以数学为平台，要注重学生数学能力的培养，通过数学方法求极值，一方面复习相关的数学知识，一方面使结论更具有说服力，一举两得，这样学生能够知道规律的来龙去脉.