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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1.记函数f（x）=3-x的定义域为A，函数g（x）=lg（x-1）的定义域为B，则A∩B=.
2.已知复数z满足（z 1）i=3 5i，其中i为虚数单位，则|z|=.
3.某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为.
4.右图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是.
5.已知函数f（x）=2sin（ωx φ）（φ>0）的部分图象如图所示，则ω=.
6.在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是.
7.在平面直角坐标系xOy中，已知OA=（3，-1），OB=（0，2）.若OC·AB=0，AC=λOB，则实数λ的值为.
8.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.
①若mα，m⊥β，则α⊥β；
②若mα，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；
③若mα，nβ，α∥β，则m∥n；
④若m∥α，mβ，α∩β=n，则m∥n.
上述命题中为真命题的是（填写所有真命题的序号）.
9.将函数y=2sinπ3x的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为.
10.函数f（x）=（x-1）sinπx-1（-1 11.设α，β∈（0，π），且sin（α β）=513，tanα2=12.则cosβ的值为.
12.设数列{an}满足：a3=8，（an 1-an-2）（2an 1-an）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为.
13.已知函数f（x）=x 2，0≤x<1，2x 12，x≥1.若a>b≥0，且f（a）=f（b），则bf（a）的取值范围是.
14.已知曲线C：f（x）=x ax（a>0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B.再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点.若△ABP的面积为12，则△OMN的面积为.
二、解答题：本大题共6小题，共90分
15.（本小题满分14分）
已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=-7210.
（1）求cos2α的值；
（2）求2α-β的值.
16.（本小题满分14分）
如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A=2AB，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）证明：C1E⊥平面BDE.
17.（本小题满分14分）
为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx 800）元（其中k为常数）.经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元.（每平方米平均综合费用=购地费用 所有建筑费用所有建筑面积）.
（1）求k的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？
18.（本小题满分16分）
已知函数f（x）=（m-3）x3 9x.
（1）若函数f（x）在区间（-∞， ∞）上是单调函数，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值.
19.（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2m y28-m=1.
（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；
（2）若m=6，
①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1，0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；
②过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明：ABFN是定值，并求出这个定值.
20.（本小题满分16分）
设无穷数列{an}满足：n∈Ν，an （1）若bn=3n（n∈N*），求证：a1=2，并求c1的值；
（2）若{cn}是公差为1的等差数列，问{an}是否为等差数列，证明你的结论.
参考答案
一、填空题
1. （1，3]
2. 5
3. 8
4. 127
5. 23
6. 710
7. 2
8. ①④
9. y=2sin（x-π3）
10. 4
11. -1665
12. 14
13. [54，3）
14. 4
二、解答题
15.解：（1）因为tanα=2，
所以sinαcosα=2，即sinα=2cosα. 又sin2α cos2α=1，解得sin2α=45，cos2α=15.
所以cos2α=cos2α-sin2α=-35.
（2）因为α∈（0，π），且tanα=2，所以α∈（0，π2）.
又cos2α=-35<0，故2α∈（π2，π），sin2α=45.
由cosβ=-7210，β∈（0，π），得sinβ=210，β∈（π2，π）.
所以sin（2α-β）=sin2αcosβ-cos2αsinβ
=45×（-7210）-（-35）×210=-22.
又2α-β∈（-π2，π2），所以2α-β=-π4.
16.证明：（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG.
因为F为C1B的中点，所以FG
在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A
所以四边形AEFG是平行四边形.
所以EF∥AG.
因为EF平面ABC，AG平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
（2）因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，
所以A1A⊥BD.
因为D为AC的中点，BA=BC，所以BD⊥AC.
因为A1A∩AC=A，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.
因为C1E平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.
根据题意，可得EB=C1E=62AB，C1B=3AB，
所以EB2 C1E2=C1B2.从而∠C1EB=90°，即C1E⊥EB.
因为BD∩EB=B，BD平面BDE，EB平面BDE，
所以C1E⊥平面BDE.
17.解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[（k 800） （2k 800） （3k 800） （4k 800） （5k 800）]×1000×10，所以，
1270={16000000 [（k 800） （2k 800） （3k 800） （4k 800） （5k 800）]×1000×10}/（10×1000×5），
解之得：k=50.
（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f（n），由题设可知
f（n）={16000000 [（50 800） （100 800） … （50n 800）]×1000×10}/（10×1000×n）
=1600n 25n 825≥21600×25 825=1225（元）.
当且仅当1600n=25n，即n=8时等号成立.
答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元.
18.解：（1）因为f′（0）=9>0，所以f（x）在区间（-∞， ∞）上只能是单调增函数.
由f′（x）=3（m-3）x2 9≥0在区间（-∞， ∞）上恒成立，所以m≥3.
故m的取值范围是[3， ∞）.
（2）当m≥3时，f（x）在[1，2]上是增函数，
所以[f（x）]max=f（2）=8（m-3） 18=4，
解得m=54<3，不合题意，舍去.
当m<3时，f′（x）=3（m-3）x2 9=0，
得x=±33-m.
所以f（x）的单调区间为：（-∞，-33-m）单调减，（-33-m，33-m）单调增，（33-m， ∞）单调减.
①当33-m≥2，即94≤m<3时，
[1，2]（-33-m，33-m]，所以f（x）在区间[1，2]上单调增，
[f（x）]max=f（2）=8（m-3） 18=4，m=54，不满足题设要求.
②当1<33-m<2，即0 ③当33-m≤1，即m≤0时，则[1，2]（33-m， ∞]，所以f（x）在区间[1，2]上单调减，
[f（x）]max=f（1）=m 6=4，m=-2.
综上所述：m=-2.
19.解：（1）由题意得，m>8-m>0，解得4 即实数m的取值范围是（4，8）.
（2）因为m=6，所以椭圆C的方程为x26 y22=1.
①设点P坐标为（x，y），则x26 y22=1.
因为点M的坐标为（1，0），所以
PM2=（x-1）2 y2=x2-2x 1 2-x23=2x23-2x 3
=23（x-32）2 32，x∈[-6，6].
所以当x=32时，PM的最小值为62，此时对应的点P坐标为（32，±52）.
②由a2=6，b2=2，得c2=4，即c=2，
从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e=63.
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则
x216 y212=1，x226 y222=1，
所以x21-x226 y21-y222=0，即kAB=y1-y2x1-x2=-x03y0.
令k=kAB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y0=-1k（x-x0）.
令y=0，则xN=ky0 x0=23x0.
因为F（2，0），所以FN=|xN-2|=23|x0-3|.
因为AB=AF BF=e（3-x1） e（3-x2）
=263|x0-3|.
故ABFN=263×32=6.
即ABFN为定值6.
20.解：（1）因为an∈N，所以若a1=1，则aa1=a1=3矛盾，
若a1≥3=aa1，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2.
于是a2=aa1=3，从而c1=aa1 1=a3=aa2=6.
（2）{an}是公差为1的等差数列，证明如下：
an 1>ann≥2时，an>an-1，所以an≥an-1 1an≥am （n-m），（m aan 1 1≥aan 1 an 1 1-（an 1），
即cn 1-cn≥an 1-an，由题设，1≥an 1-an，又an 1-an≥1，
所以an 1-an=1，即{an}是等差数列.
1.记函数f（x）=3-x的定义域为A，函数g（x）=lg（x-1）的定义域为B，则A∩B=.
2.已知复数z满足（z 1）i=3 5i，其中i为虚数单位，则|z|=.
3.某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为.
4.右图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是.
5.已知函数f（x）=2sin（ωx φ）（φ>0）的部分图象如图所示，则ω=.
6.在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是.
7.在平面直角坐标系xOy中，已知OA=（3，-1），OB=（0，2）.若OC·AB=0，AC=λOB，则实数λ的值为.
8.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.
①若mα，m⊥β，则α⊥β；
②若mα，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；
③若mα，nβ，α∥β，则m∥n；
④若m∥α，mβ，α∩β=n，则m∥n.
上述命题中为真命题的是（填写所有真命题的序号）.
9.将函数y=2sinπ3x的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为.
10.函数f（x）=（x-1）sinπx-1（-1
12.设数列{an}满足：a3=8，（an 1-an-2）（2an 1-an）=0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为.
13.已知函数f（x）=x 2，0≤x<1，2x 12，x≥1.若a>b≥0，且f（a）=f（b），则bf（a）的取值范围是.
14.已知曲线C：f（x）=x ax（a>0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B.再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点.若△ABP的面积为12，则△OMN的面积为.
二、解答题：本大题共6小题，共90分
15.（本小题满分14分）
已知α，β∈（0，π），且tanα=2，cosβ=-7210.
（1）求cos2α的值；
（2）求2α-β的值.
16.（本小题满分14分）
如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A=2AB，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）证明：C1E⊥平面BDE.
17.（本小题满分14分）
为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx 800）元（其中k为常数）.经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元.（每平方米平均综合费用=购地费用 所有建筑费用所有建筑面积）.
（1）求k的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？
18.（本小题满分16分）
已知函数f（x）=（m-3）x3 9x.
（1）若函数f（x）在区间（-∞， ∞）上是单调函数，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为4，求m的值.
19.（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2m y28-m=1.
（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；
（2）若m=6，
①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1，0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；
②过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明：ABFN是定值，并求出这个定值.
20.（本小题满分16分）
设无穷数列{an}满足：n∈Ν，an
（2）若{cn}是公差为1的等差数列，问{an}是否为等差数列，证明你的结论.
参考答案
一、填空题
1. （1，3]
2. 5
3. 8
4. 127
5. 23
6. 710
7. 2
8. ①④
9. y=2sin（x-π3）
10. 4
11. -1665
12. 14
13. [54，3）
14. 4
二、解答题
15.解：（1）因为tanα=2，
所以sinαcosα=2，即sinα=2cosα. 又sin2α cos2α=1，解得sin2α=45，cos2α=15.
所以cos2α=cos2α-sin2α=-35.
（2）因为α∈（0，π），且tanα=2，所以α∈（0，π2）.
又cos2α=-35<0，故2α∈（π2，π），sin2α=45.
由cosβ=-7210，β∈（0，π），得sinβ=210，β∈（π2，π）.
所以sin（2α-β）=sin2αcosβ-cos2αsinβ
=45×（-7210）-（-35）×210=-22.
又2α-β∈（-π2，π2），所以2α-β=-π4.
16.证明：（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG.
因为F为C1B的中点，所以FG
在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A
所以四边形AEFG是平行四边形.
所以EF∥AG.
因为EF平面ABC，AG平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
（2）因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD平面ABC，
所以A1A⊥BD.
因为D为AC的中点，BA=BC，所以BD⊥AC.
因为A1A∩AC=A，A1A平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.
因为C1E平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.
根据题意，可得EB=C1E=62AB，C1B=3AB，
所以EB2 C1E2=C1B2.从而∠C1EB=90°，即C1E⊥EB.
因为BD∩EB=B，BD平面BDE，EB平面BDE，
所以C1E⊥平面BDE.
17.解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[（k 800） （2k 800） （3k 800） （4k 800） （5k 800）]×1000×10，所以，
1270={16000000 [（k 800） （2k 800） （3k 800） （4k 800） （5k 800）]×1000×10}/（10×1000×5），
解之得：k=50.
（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f（n），由题设可知
f（n）={16000000 [（50 800） （100 800） … （50n 800）]×1000×10}/（10×1000×n）
=1600n 25n 825≥21600×25 825=1225（元）.
当且仅当1600n=25n，即n=8时等号成立.
答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元.
18.解：（1）因为f′（0）=9>0，所以f（x）在区间（-∞， ∞）上只能是单调增函数.
由f′（x）=3（m-3）x2 9≥0在区间（-∞， ∞）上恒成立，所以m≥3.
故m的取值范围是[3， ∞）.
（2）当m≥3时，f（x）在[1，2]上是增函数，
所以[f（x）]max=f（2）=8（m-3） 18=4，
解得m=54<3，不合题意，舍去.
当m<3时，f′（x）=3（m-3）x2 9=0，
得x=±33-m.
所以f（x）的单调区间为：（-∞，-33-m）单调减，（-33-m，33-m）单调增，（33-m， ∞）单调减.
①当33-m≥2，即94≤m<3时，
[1，2]（-33-m，33-m]，所以f（x）在区间[1，2]上单调增，
[f（x）]max=f（2）=8（m-3） 18=4，m=54，不满足题设要求.
②当1<33-m<2，即0
[f（x）]max=f（1）=m 6=4，m=-2.
综上所述：m=-2.
19.解：（1）由题意得，m>8-m>0，解得4
（2）因为m=6，所以椭圆C的方程为x26 y22=1.
①设点P坐标为（x，y），则x26 y22=1.
因为点M的坐标为（1，0），所以
PM2=（x-1）2 y2=x2-2x 1 2-x23=2x23-2x 3
=23（x-32）2 32，x∈[-6，6].
所以当x=32时，PM的最小值为62，此时对应的点P坐标为（32，±52）.
②由a2=6，b2=2，得c2=4，即c=2，
从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e=63.
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则
x216 y212=1，x226 y222=1，
所以x21-x226 y21-y222=0，即kAB=y1-y2x1-x2=-x03y0.
令k=kAB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y0=-1k（x-x0）.
令y=0，则xN=ky0 x0=23x0.
因为F（2，0），所以FN=|xN-2|=23|x0-3|.
因为AB=AF BF=e（3-x1） e（3-x2）
=263|x0-3|.
故ABFN=263×32=6.
即ABFN为定值6.
20.解：（1）因为an∈N，所以若a1=1，则aa1=a1=3矛盾，
若a1≥3=aa1，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2.
于是a2=aa1=3，从而c1=aa1 1=a3=aa2=6.
（2）{an}是公差为1的等差数列，证明如下：
an 1>ann≥2时，an>an-1，所以an≥an-1 1an≥am （n-m），（m
即cn 1-cn≥an 1-an，由题设，1≥an 1-an，又an 1-an≥1，
所以an 1-an=1，即{an}是等差数列.