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一、填空题
1．已知集合A＝｛x | x≤2｝，集合B＝｛x | x≥a｝，且A∩B＝｛2｝，则实数a＝______．
2．设i是虚数单位，复数z1=1+i，z2=t+2i(t∈R)，若z1•z2是实数，则t=______．
3．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有______辆.
4．如图所示的程序框图中，若输入x=5，则输出i的值是______.
5．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列命题：
①α∥β l⊥m；②α⊥β l∥m；③l∥mα⊥β；④l⊥m α∥β．
其中正确命题的序号是______．
6．若函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π2）在一个周期内的图象如图所示，M,N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM•ON=0，则A•ω=______．
7．已知二次函数f(x)=ax2+bx+1的导函数为f′(x),f′(0)>0，对任意实数x，都有f(x)≥0,则f(1)f′(0)的最小值为______．
8．在△ABC中，AB=4,AC=2，M是△ABC内一点，且满足2MA+MB+MC=0，则AM•BC=______．
9．已知D是不等式组x-2y≥0x+3y≥0所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为______．
10．设偶函数f(x)在设△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且acosA=csinC，那么A=______．
12．在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式|x|＋|y|≤1表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是______．
13．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心、右焦点、右顶点分别为O、F、A，右准线与x轴的交点为H，则FAOH的最大值为______．
14．已知函数f(x)＝(x2－x－1a)eax(a>0)，若不等式f(x)＋3a≥0对x∈3a，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为______．
二、解答题
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列.
（1）若AB•BC=－32,b=3，求a+c的值；
（2）求2sinA－sinC的取值范围．
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB．
17．随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：Tn＝228a(1.012n－1).(n≤24，n∈N*)．
(1)求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；
(2)比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；
(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由．
(参考数据：54.5828≈1.09，lg1.09lg1.01≈8.66)
18．设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=(m+1)－man(m 为常数，且m>0)．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）设数列{an}的公比q=f(n)，数列{bn}满足b1=2a1,bn=f(bn－1) (n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{b2n }的前n项和Tn<8918．
19．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点坐标为(3，0)，短轴一顶点与两焦点连线夹角为120°.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，m)在线段AB的垂直平分线上且QA•QB≤4，求m的取值范围．
20．设函数f(x)=px－qx－2lnx，且f(e)=qe－pe－2（e为自然对数的底数）．
（1）求实数p与q的关系；
（2）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围；
（3）设g(x)=2ex，若存在x0∈，使得f(x0)>g(x0)成立，求实数p的取值范围．
参考答案
一、填空题
1．2
2．2
3．180
4．4
5．①③
6．76π
7．2
8．－3
9．π2
10．④
11．π4
12．2π
13．14
14．(0,ln3〗
二、解答题
15．（1）由2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B=π3，accosB=32，∴ac=3．
a2+c2－2accosπ3=3，∴(a+c)2=12，即a+c=23．
（2）2sinA－sin(2π3－A)=3sin(A－π6)，
∵0 16．（1）连BD，四边形ABCD菱形，∵AD⊥AB，∠BAD=60°,
又∵△ABD为正三角形， Q为AD中点， ∴AD⊥BQ.
∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ,
又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB， AD平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD.
（2）当t=13时，PA∥平面MQB.
连AC交BQ于N，
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，∴AQBC=ANNC=12.
PA∥平面MQB，PA平面PAC，平面PAC交平面MQB于MN，∴PA∥MN,
PMPC=ANAC=13即：PM=13PC，∴t=13.
17．解：(1)Q型车每月的销售量{an}是以首项a1 ＝ a，
公比q ＝ 1＋1%＝ 1.01的等比数列.
前n个月的销售总量Sn＝a(1-1.01n)1-1.01＝100a(1.01n－1)，(n∈N*，且n≤24).
(2) ∵Sn－Tn＝100a(1.01n－1)－228a(1.012n－1)
＝100a(1.01n－1)－228a(1.01n－1)(1.01n＋1)＝－228a(1.01n－1)•(1.01n＋3257).
又1.01n－1>0,1.01n＋3257>0，∴Sn
(3)记Q、R两款车第n个月的销量分别为an和bn，则an＝a×1.01n－1，
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝228a(1.012n－1)－228a(1.012n－2－1)
＝228a×(1.012－1)×1.012n－2＝4.5828a1.012n－2.
b1＝4.5828a，显然20%×b1 当n≥2时，若an<20%×bn，a×1.01n－1<15×4.5828a×1.012n－2，
1.012(n－1)>54.5828×1.01n－1，1.01n－1>54.5828≈1.09，n－1>lg1.09lg1.01≈8.66.
∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.
18．（1）证明：当n=1时，a1=S1=(m+1)－ma1，解得a1=1．
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=man－1－man．即(1+m)an=man－1．
∵m为常数，且m>0，∴anan－1=m1+m(n≥2)．
∴数列{an}是首项为1，公比为m1+m的等比数列．
（2）解：由（1）得，q=f(m)=m1+m，b1=2a1=2．
∵bn=f(bn－1)=bn－11+bn－1，∴1bn=1bn－1+1，即1bn－1bn－1=1(n≥2)．
∴{1bn}是首项为12，公差为1的等差数列．
∴1bn=12+(n－1)•1=2n－12，即bn=22n－1（n∈N*）．
（3）证明：由（2）知bn=22n－1，则b2n= 4(2n-1)2．
所以Tn= b21+ b22+ b23+ … + b2n=4+49+425+…+4(2n－1)2，
当n≥2时，4(2n－1)2<42n(2n－2)=1n－1－1n，所以Tn=4+49+425+…+4(2n－1)2
<4+49+(12－13)+(13－14)+…+(1n－1－1n) =409+12－1n<8918．
19．解：(1)由题意知a＝2b，c＝3，a2＝b2＋c2.
解得a＝2，b＝1，∴椭圆方程为x24＋y2＝1.
(2)由(1)可知A(－2,0)，设B点坐标为(x1，y1)，直线l的方程为y＝k(x＋2)，
于是A、B两点的坐标满足方程组y=k(x+2)x24+y2=1.
由方程消去y并整理得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，
由－2x1＝16k2-41+4k2得x1＝2-8k21+4k2，从而y1＝4k1+4k2，
设线段AB的中点为M，则M的坐标为(-8k21+4k2，2k1+4k2).
以下分两种情况：
①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，
于是QA＝(－2，－m)，QB＝(2，－m)，由QA•QB≤4，得：－22≤m≤22.
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－2k1+4k2＝－1k(x＋8k21+4k2)，
令x＝0，得m＝－6k1+4k2，
由QA•QB＝－2x1－m(y1－m)＝2(2+8k2)1+4k2＋ 6k1+4k2(4k1+4k2＋6k1+4k2)＝4(16k4+15k2)(1+4k2)2≤4，
解得－147≤k≤147且k≠0.∴m＝－6k1+4k2＝－61k+4k，
∴当－147≤k<0时， 1k＋4k≤－4；当0 ∴－32≤m≤32，且m≠0.
综上所述，－32≤m≤32，且m≠0.
20．（1）由题意，得f(e)=pe－qe－2lne=qe－pe－2，
化简，得(p－q)(e+1e)=0，∴p=q.
（2）函数f(x)的定义域为(0,+∞).由（1）知，f(x)=px－px－2lnx，
f′(x)=p+px2－2x=px2－2x+px2.
令h(x)=px2－2x+p，要使f(x)在其定义域(0,+∞)内为单调函数，只需h(x)在(0,+∞)内满足h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.
①当p=0时，h(x)=－2x<0，∴f′(x)<0.
∴f(x)在(0,+∞)内为单调减函数，故p=0符合条件.
②当p>0时，h(x)min=h(1p)=p－1p.只需p－1p≥0，即p≥1时h(x)≥0，此时f′(x)≥0.
∴f(x)在(0,+∞)内为单调增函数，故p≥1符合条件.
③当p<0时，h(x)max=h(0)=p.只需p≤0，此时f′(x)≤0.
∴f(x)在(0,+∞)内为单调减函数，故p<0符合条件.
综上可得, p≥1或p≤0为所求.
（3）∵g(x)=2ex在上是减函数，∴x=e时，g(x)min=2；x=1时，g(x)max=2e.
即g(x)∈.
①当p≤0时，由（2）知，f(x)在上递减，f(x)max=f(1)=0<2，不合题意.
②当0 由（2）知，当p=1时，f(x)=x－1x－2lnx单调递增，
∴f(x)≤x－1x－2lnx≤e－1e－2<2，不合题意.
③当p≥1时，由（2）知f(x)在上递增，f(1)=0<2，
又g(x)在在上递减，∴f(x)max>g(x)min=2.
即p(e－1e)－2lne>2，∴p>4ee2－1.
综上，p的取值范围是(4ee2－1,+∞).
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1．已知集合A＝｛x | x≤2｝，集合B＝｛x | x≥a｝，且A∩B＝｛2｝，则实数a＝______．
2．设i是虚数单位，复数z1=1+i，z2=t+2i(t∈R)，若z1•z2是实数，则t=______．
3．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有______辆.
4．如图所示的程序框图中，若输入x=5，则输出i的值是______.
5．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列命题：
①α∥β l⊥m；②α⊥β l∥m；③l∥mα⊥β；④l⊥m α∥β．
其中正确命题的序号是______．
6．若函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π2）在一个周期内的图象如图所示，M,N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM•ON=0，则A•ω=______．
7．已知二次函数f(x)=ax2+bx+1的导函数为f′(x),f′(0)>0，对任意实数x，都有f(x)≥0,则f(1)f′(0)的最小值为______．
8．在△ABC中，AB=4,AC=2，M是△ABC内一点，且满足2MA+MB+MC=0，则AM•BC=______．
9．已知D是不等式组x-2y≥0x+3y≥0所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为______．
10．设偶函数f(x)在设△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，且acosA=csinC，那么A=______．
12．在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式|x|＋|y|≤1表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是______．
13．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心、右焦点、右顶点分别为O、F、A，右准线与x轴的交点为H，则FAOH的最大值为______．
14．已知函数f(x)＝(x2－x－1a)eax(a>0)，若不等式f(x)＋3a≥0对x∈3a，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为______．
二、解答题
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列.
（1）若AB•BC=－32,b=3，求a+c的值；
（2）求2sinA－sinC的取值范围．
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB．
17．随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：Tn＝228a(1.012n－1).(n≤24，n∈N*)．
(1)求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；
(2)比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；
(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由．
(参考数据：54.5828≈1.09，lg1.09lg1.01≈8.66)
18．设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=(m+1)－man(m 为常数，且m>0)．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）设数列{an}的公比q=f(n)，数列{bn}满足b1=2a1,bn=f(bn－1) (n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{b2n }的前n项和Tn<8918．
19．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点坐标为(3，0)，短轴一顶点与两焦点连线夹角为120°.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，m)在线段AB的垂直平分线上且QA•QB≤4，求m的取值范围．
20．设函数f(x)=px－qx－2lnx，且f(e)=qe－pe－2（e为自然对数的底数）．
（1）求实数p与q的关系；
（2）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围；
（3）设g(x)=2ex，若存在x0∈，使得f(x0)>g(x0)成立，求实数p的取值范围．
参考答案
一、填空题
1．2
2．2
3．180
4．4
5．①③
6．76π
7．2
8．－3
9．π2
10．④
11．π4
12．2π
13．14
14．(0,ln3〗
二、解答题
15．（1）由2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B=π3，accosB=32，∴ac=3．
a2+c2－2accosπ3=3，∴(a+c)2=12，即a+c=23．
（2）2sinA－sin(2π3－A)=3sin(A－π6)，
∵0
又∵△ABD为正三角形， Q为AD中点， ∴AD⊥BQ.
∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ,
又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB， AD平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD.
（2）当t=13时，PA∥平面MQB.
连AC交BQ于N，
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，∴AQBC=ANNC=12.
PA∥平面MQB，PA平面PAC，平面PAC交平面MQB于MN，∴PA∥MN,
PMPC=ANAC=13即：PM=13PC，∴t=13.
17．解：(1)Q型车每月的销售量{an}是以首项a1 ＝ a，
公比q ＝ 1＋1%＝ 1.01的等比数列.
前n个月的销售总量Sn＝a(1-1.01n)1-1.01＝100a(1.01n－1)，(n∈N*，且n≤24).
(2) ∵Sn－Tn＝100a(1.01n－1)－228a(1.012n－1)
＝100a(1.01n－1)－228a(1.01n－1)(1.01n＋1)＝－228a(1.01n－1)•(1.01n＋3257).
又1.01n－1>0,1.01n＋3257>0，∴Sn
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝228a(1.012n－1)－228a(1.012n－2－1)
＝228a×(1.012－1)×1.012n－2＝4.5828a1.012n－2.
b1＝4.5828a，显然20%×b1
1.012(n－1)>54.5828×1.01n－1，1.01n－1>54.5828≈1.09，n－1>lg1.09lg1.01≈8.66.
∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.
18．（1）证明：当n=1时，a1=S1=(m+1)－ma1，解得a1=1．
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=man－1－man．即(1+m)an=man－1．
∵m为常数，且m>0，∴anan－1=m1+m(n≥2)．
∴数列{an}是首项为1，公比为m1+m的等比数列．
（2）解：由（1）得，q=f(m)=m1+m，b1=2a1=2．
∵bn=f(bn－1)=bn－11+bn－1，∴1bn=1bn－1+1，即1bn－1bn－1=1(n≥2)．
∴{1bn}是首项为12，公差为1的等差数列．
∴1bn=12+(n－1)•1=2n－12，即bn=22n－1（n∈N*）．
（3）证明：由（2）知bn=22n－1，则b2n= 4(2n-1)2．
所以Tn= b21+ b22+ b23+ … + b2n=4+49+425+…+4(2n－1)2，
当n≥2时，4(2n－1)2<42n(2n－2)=1n－1－1n，所以Tn=4+49+425+…+4(2n－1)2
<4+49+(12－13)+(13－14)+…+(1n－1－1n) =409+12－1n<8918．
19．解：(1)由题意知a＝2b，c＝3，a2＝b2＋c2.
解得a＝2，b＝1，∴椭圆方程为x24＋y2＝1.
(2)由(1)可知A(－2,0)，设B点坐标为(x1，y1)，直线l的方程为y＝k(x＋2)，
于是A、B两点的坐标满足方程组y=k(x+2)x24+y2=1.
由方程消去y并整理得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，
由－2x1＝16k2-41+4k2得x1＝2-8k21+4k2，从而y1＝4k1+4k2，
设线段AB的中点为M，则M的坐标为(-8k21+4k2，2k1+4k2).
以下分两种情况：
①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，
于是QA＝(－2，－m)，QB＝(2，－m)，由QA•QB≤4，得：－22≤m≤22.
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－2k1+4k2＝－1k(x＋8k21+4k2)，
令x＝0，得m＝－6k1+4k2，
由QA•QB＝－2x1－m(y1－m)＝2(2+8k2)1+4k2＋ 6k1+4k2(4k1+4k2＋6k1+4k2)＝4(16k4+15k2)(1+4k2)2≤4，
解得－147≤k≤147且k≠0.∴m＝－6k1+4k2＝－61k+4k，
∴当－147≤k<0时， 1k＋4k≤－4；当0
综上所述，－32≤m≤32，且m≠0.
20．（1）由题意，得f(e)=pe－qe－2lne=qe－pe－2，
化简，得(p－q)(e+1e)=0，∴p=q.
（2）函数f(x)的定义域为(0,+∞).由（1）知，f(x)=px－px－2lnx，
f′(x)=p+px2－2x=px2－2x+px2.
令h(x)=px2－2x+p，要使f(x)在其定义域(0,+∞)内为单调函数，只需h(x)在(0,+∞)内满足h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.
①当p=0时，h(x)=－2x<0，∴f′(x)<0.
∴f(x)在(0,+∞)内为单调减函数，故p=0符合条件.
②当p>0时，h(x)min=h(1p)=p－1p.只需p－1p≥0，即p≥1时h(x)≥0，此时f′(x)≥0.
∴f(x)在(0,+∞)内为单调增函数，故p≥1符合条件.
③当p<0时，h(x)max=h(0)=p.只需p≤0，此时f′(x)≤0.
∴f(x)在(0,+∞)内为单调减函数，故p<0符合条件.
综上可得, p≥1或p≤0为所求.
（3）∵g(x)=2ex在上是减函数，∴x=e时，g(x)min=2；x=1时，g(x)max=2e.
即g(x)∈.
①当p≤0时，由（2）知，f(x)在上递减，f(x)max=f(1)=0<2，不合题意.
②当0
∴f(x)≤x－1x－2lnx≤e－1e－2<2，不合题意.
③当p≥1时，由（2）知f(x)在上递增，f(1)=0<2，
又g(x)在在上递减，∴f(x)max>g(x)min=2.
即p(e－1e)－2lne>2，∴p>4ee2－1.
综上，p的取值范围是(4ee2－1,+∞).
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