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一、函数最值
1.定义：对于函数f(x),假定其定义域为Ａ，则（1）若存在x0，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)是函数的最大值；（2）若存在x0，使得对于任意x∈A,恒有f(x)≥f(x0)成立，则称f(x0)是f(x)的最小值。
2.求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数。特别注意自变量的范围，将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。
例1：求函数f(x)＝■的最大值。
此题涉及最大值问题，而分子为1，所以可想到使分母取正的最小值即可。设g(x)＝1－x（1－x）＝x2－x＋1＝(x－■)2＋■，定义域为Ｒ，所以g(x)＝(x－■)2＋■≥■，即g(x)∈[■，+∞），取倒数f(x)＝■∈（0，■］，可见f(x)max＝■。
（2）判别式法：主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)。在由△≥0且a(y)≠0求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x值。特别是求f(x)=■（a12＋a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非定这一隐含条件，将函数转化为方程，利用△≥0转化为关于函数的不等式，求解时注意二次函数系数为字母时要讨论。
例2：求函数f(x)=■的值域。
解：由y＝■得4yx2＋y－4■x－4＝0，
①y＝0时，x＝－■，
②y≠0时，△＝80－16y(y-4)＝－16（y2－4y－5）≥0
解得－1≤y≤5，可得出f(x)的最大为5与最小值为-1。
（3）不等式法：
利用基本不等式均值定理求最值，要特别注意“一正二定三等”即等号成立的条件。
例3：①已知a>b>0,求y＝a＋■的最小值。
解：因为a＝(a－b)＋b,又因为a>b>0，所以a-b>0,
所以a＋■＝(a－b)＋b＋■≥3■
＝3
即a＋■≥3（当且仅当b＝a-b＝■时取“＝”号）
②已知a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5.求（a+c）2+(b+d)2的最小值。
解：令a＋c＝m，b＋d＝n,则m＋n＝a＋c＋b＋d＝12, (a+c)2+(b+d)2=m2+n2≥■＝■＝72（当且仅当m＝n，即a＋c＝b＋d＝6时取等号），所以（a+c）2+(b+d)2的最小值是72。
③设x,y都是正数，且■＋■＝1，求x+y的最小值。
解：x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)（■＋■）＝1＋■＋■＋2＝■＋■＋3≥2■＋3（当且仅当■＝■时“＝”成立）
（4）换元法：常用在三角代换、复数代换、二元代换、整体代换等，且在用换元时一定要注意新变量的取值范围。
例4：已知f(x)的值域［■，■］，试求y=f(x)＋■的值域。
解：令t=f(x)∈［■，■］，则y=t+■，令μ=■，因为■≤t≤■,所以1－■≤１－２t≤１－■，即■≤μ≤■，所以y=■+μ=-■(μ－１)２＋１，所以■≤y≤■。
（5）数形结合法：利用函数图像或几何意义求出函数的最值，且多反映在距离、斜率等方面。
例5：已知点(x,y)满足x2+y2=1,求■的最值。
此题充分结合了解析几何中相关问题。点(x,y)可以看成圆心在原点，半径为1的圆上的任意点。而■＝■恰可以理解为点（x,y）与点（2,0）连线的斜率。
■（下转第193页）
（上接第134页）
可设过点（2，0）的直线方程为y=k(x－2),当直线与圆相切时，斜率取到最大或最小值，即kx－y－2k=0，圆心（原点）到直线距离为1时直线与圆相切。d＝■＝１，解得k=－■或k=■，所以最大值为■，最小值为－■。
（6）函数的单调性法：有些函数求最值要注意函数的单调性对函数最值的影响。尤其是对于闭区间上函数的最值，而在研究函数的单调性中，导数的导入与应用更是简化了许多单调性的问题，更要注意。在利用导数研究单调性时，使导函数大于零的区间就是原函数的增区间，使导函数小于零的区间就是原函数的减区间。
例6：求y=x2－4x－5(x≥4)的最小值。
解：因为该函数在[2，＋∞）上是单调递增的，所以在［4，＋∞）也是单调递增的，所以当x＝4时，y取最小值为－5。
二、三角函数最值
求三角函数的最大值和最小值代数中的最值的方法均适用，如配方法、换元法、判别式法、重要不等式法。另外还有一些常见的三角函数及最值的求法：
1.y＝asinx＋b(或acosx＋b)型：利用三角函数的值域（须注意字母的讨论）。
例7：y＝2sinx＋3的值域为［1，5］，因为当x∈R时，sinx的值域为［－1,1］，从而y∈［1，5］。
2.y＝asinx＋bcosx型：引进辅助角，化成y=■sin(x＋φ)再利用三角函数的有界性求最值。
例8：y＝3sinx＋4cosx的值域。
解：y=5(■sinx+■coax),设cosφ＝■，sinφ=■，则y＝5(sinxcosφ+cosxsinφ)=5sin(x＋φ)，其中tanφ=■，又因为－１≤sin(x＋φ)≤1，所以y∈［－5,5］，所以，y∈［－5,5］。
3.y＝asin2x＋bsinx＋c型：换元配方后求二次函数的最值，应注意｜sinx｜≤1的约束。
例9：y＝cos2x+sinx的最小值。
解：y=1－sin2x＋sinx=－sin2x＋sinx+1。设sinx=t，则－1≤t≤1则原方程可变为y=－t2＋t＋1=－(t2－t)＋1＝－（t－■）2＋■，－1≤t≤1，所以０≤（t－■）2≤■，所以y∈［－１,■］。
4.y＝■型：反解出sinx，化归为｜sinx|≤1解决。利用三角函数的有界性。
例10：y=■的最值。
解：2y+sinx·y-sinx=0，(y-1)sinx=-2y，所以sinx=■，又因为-1≤sinx≤1，所以-1≤■≤1。
函数最值在考试和工程运用上十分广泛，一定要认真把握。三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用，是数形结合的较好体现，三角函数是基本的初等函数，它描述同期现象的数学模型，在数学及其它领域中具有重要的作用。在高考命题中，单摆，弹簧振子，圆上一点的运动以及音乐，波浪、潮汐、四季变化等同期性现象，将是新的高考命题方向，所以一定要掌握好。
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1.定义：对于函数f(x),假定其定义域为Ａ，则（1）若存在x0，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)是函数的最大值；（2）若存在x0，使得对于任意x∈A,恒有f(x)≥f(x0)成立，则称f(x0)是f(x)的最小值。
2.求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数。特别注意自变量的范围，将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。
例1：求函数f(x)＝■的最大值。
此题涉及最大值问题，而分子为1，所以可想到使分母取正的最小值即可。设g(x)＝1－x（1－x）＝x2－x＋1＝(x－■)2＋■，定义域为Ｒ，所以g(x)＝(x－■)2＋■≥■，即g(x)∈[■，+∞），取倒数f(x)＝■∈（0，■］，可见f(x)max＝■。
（2）判别式法：主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)。在由△≥0且a(y)≠0求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x值。特别是求f(x)=■（a12＋a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非定这一隐含条件，将函数转化为方程，利用△≥0转化为关于函数的不等式，求解时注意二次函数系数为字母时要讨论。
例2：求函数f(x)=■的值域。
解：由y＝■得4yx2＋y－4■x－4＝0，
①y＝0时，x＝－■，
②y≠0时，△＝80－16y(y-4)＝－16（y2－4y－5）≥0
解得－1≤y≤5，可得出f(x)的最大为5与最小值为-1。
（3）不等式法：
利用基本不等式均值定理求最值，要特别注意“一正二定三等”即等号成立的条件。
例3：①已知a>b>0,求y＝a＋■的最小值。
解：因为a＝(a－b)＋b,又因为a>b>0，所以a-b>0,
所以a＋■＝(a－b)＋b＋■≥3■
＝3
即a＋■≥3（当且仅当b＝a-b＝■时取“＝”号）
②已知a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5.求（a+c）2+(b+d)2的最小值。
解：令a＋c＝m，b＋d＝n,则m＋n＝a＋c＋b＋d＝12, (a+c)2+(b+d)2=m2+n2≥■＝■＝72（当且仅当m＝n，即a＋c＝b＋d＝6时取等号），所以（a+c）2+(b+d)2的最小值是72。
③设x,y都是正数，且■＋■＝1，求x+y的最小值。
解：x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)（■＋■）＝1＋■＋■＋2＝■＋■＋3≥2■＋3（当且仅当■＝■时“＝”成立）
（4）换元法：常用在三角代换、复数代换、二元代换、整体代换等，且在用换元时一定要注意新变量的取值范围。
例4：已知f(x)的值域［■，■］，试求y=f(x)＋■的值域。
解：令t=f(x)∈［■，■］，则y=t+■，令μ=■，因为■≤t≤■,所以1－■≤１－２t≤１－■，即■≤μ≤■，所以y=■+μ=-■(μ－１)２＋１，所以■≤y≤■。
（5）数形结合法：利用函数图像或几何意义求出函数的最值，且多反映在距离、斜率等方面。
例5：已知点(x,y)满足x2+y2=1,求■的最值。
此题充分结合了解析几何中相关问题。点(x,y)可以看成圆心在原点，半径为1的圆上的任意点。而■＝■恰可以理解为点（x,y）与点（2,0）连线的斜率。
■（下转第193页）
（上接第134页）
可设过点（2，0）的直线方程为y=k(x－2),当直线与圆相切时，斜率取到最大或最小值，即kx－y－2k=0，圆心（原点）到直线距离为1时直线与圆相切。d＝■＝１，解得k=－■或k=■，所以最大值为■，最小值为－■。
（6）函数的单调性法：有些函数求最值要注意函数的单调性对函数最值的影响。尤其是对于闭区间上函数的最值，而在研究函数的单调性中，导数的导入与应用更是简化了许多单调性的问题，更要注意。在利用导数研究单调性时，使导函数大于零的区间就是原函数的增区间，使导函数小于零的区间就是原函数的减区间。
例6：求y=x2－4x－5(x≥4)的最小值。
解：因为该函数在[2，＋∞）上是单调递增的，所以在［4，＋∞）也是单调递增的，所以当x＝4时，y取最小值为－5。
二、三角函数最值
求三角函数的最大值和最小值代数中的最值的方法均适用，如配方法、换元法、判别式法、重要不等式法。另外还有一些常见的三角函数及最值的求法：
1.y＝asinx＋b(或acosx＋b)型：利用三角函数的值域（须注意字母的讨论）。
例7：y＝2sinx＋3的值域为［1，5］，因为当x∈R时，sinx的值域为［－1,1］，从而y∈［1，5］。
2.y＝asinx＋bcosx型：引进辅助角，化成y=■sin(x＋φ)再利用三角函数的有界性求最值。
例8：y＝3sinx＋4cosx的值域。
解：y=5(■sinx+■coax),设cosφ＝■，sinφ=■，则y＝5(sinxcosφ+cosxsinφ)=5sin(x＋φ)，其中tanφ=■，又因为－１≤sin(x＋φ)≤1，所以y∈［－5,5］，所以，y∈［－5,5］。
3.y＝asin2x＋bsinx＋c型：换元配方后求二次函数的最值，应注意｜sinx｜≤1的约束。
例9：y＝cos2x+sinx的最小值。
解：y=1－sin2x＋sinx=－sin2x＋sinx+1。设sinx=t，则－1≤t≤1则原方程可变为y=－t2＋t＋1=－(t2－t)＋1＝－（t－■）2＋■，－1≤t≤1，所以０≤（t－■）2≤■，所以y∈［－１,■］。
4.y＝■型：反解出sinx，化归为｜sinx|≤1解决。利用三角函数的有界性。
例10：y=■的最值。
解：2y+sinx·y-sinx=0，(y-1)sinx=-2y，所以sinx=■，又因为-1≤sinx≤1，所以-1≤■≤1。
函数最值在考试和工程运用上十分广泛，一定要认真把握。三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用，是数形结合的较好体现，三角函数是基本的初等函数，它描述同期现象的数学模型，在数学及其它领域中具有重要的作用。在高考命题中，单摆，弹簧振子，圆上一点的运动以及音乐，波浪、潮汐、四季变化等同期性现象，将是新的高考命题方向，所以一定要掌握好。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”