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摘要：给出了一小段圆弧线两端张力的合力公式的推导方法，并作为结论解答有关物理问题。
关键词：圆弧线；微元法；张力；结论
中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1006-5962（2013）01-0143-02
1 结论推导
问题 一质量为M的均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若此圆环绕几何轴旋转的角速度为ω，求圆环内部张力T。
解析 如图1所示，在圆环上取微元Δl，对应的圆心角为Δθ，其质量可表示为
Δm=Δθ2πM， （1）
微元Δl受圆环对它的张力为T，则合力为F=2TsinΔθ2。
因圆心角Δθ很小，则sinΔθ2≈Δθ2，
所以F=T·Δθ。 （2）
这表明，小段圆弧线两端的一对张力的合力等于圆弧线张力与所对的圆心角（弧度数）之积。可作为结论直接应用。圆环上的一小段Δl做圆周运动所需的向心力由张力的合力提供，即
F=T·Δθ=Δm·rω2， （3）
所以张力为T=Mrω22π。
2 结论应用
对于这类问题，从张力产生的原因而言，主要包括三种情形：因旋转有离心趋势而产生的张力、因接触面支撑对圆环有扩张趋势而产生的张力、因安培力对磁场中的通电圆环有扩张趋势而产生张力。从圆弧线特点而言，包括可伸长的圆弧线和不可伸长的圆弧线。
例1 橡皮圈挂在钉子上，如图2所示，这时它的长度为2h，然后使橡皮圈在水平面上旋转起来，当转动角速度达到ω时，它的长度也为2h，求橡皮圈转动的角速度。
解析 橡皮圈竖直悬挂时，其张力从上到下呈线性变化，最上端的张力最大，T=mg2，最下端的张力最小，为零，则平均张力为T=mg4，橡皮圈的伸长量跟平均张力成正比。
橡皮圈在水平面上旋转时，由于它的长度也为2h，则张力为T=T=mg4。
在橡皮圈上取一微元，对应的圆心角为Δθ，则其两端张力的合力为F=T·Δθ，方向指向圆心，微元Δm做圆周运动所需的向心力由张力的合力提供，即
F=T·Δθ=Δm·rω2，
质量微元为Δm=Δθ2πm，圆形橡皮圈的半径为r=h2π，
所以ω=πg2h。
例2 半径为R的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳子两端悬挂的两个物体的质量分别为M、m，设圆盘与绳子之间光滑接触，试求圆盘对绳子的法向支持力的线密度。
解析 求圆盘对绳子的法向支持力的线密度，就是求圆盘对绳子单位长度上的法向支持力，因为圆盘与绳子之间光滑接触，则绳子上各处的张力大小相等，设大小为T，在接触处任取一小段绳Δl，对应的圆心角为Δθ，则这小段绳对圆盘产生的压力为ΔN=T·Δθ，
根据牛顿第三定律可知，圆盘对这小段绳子的法向支持力大小为ΔN'=T·Δθ，
则圆盘对绳子的法向支持力的线密度为
n=ΔN'Δl=T·ΔθR·Δθ=TR
两个物体做加速度大小相等的匀加速直线运动，对整体由牛顿第二定律有a=M-mM+mg，
对物体m由牛顿第二定律有T-mg=ma，
由此求得张力大小为T=m（a+g）=2MmM+mg。
所以圆盘对绳子的法向支持力的线密度为n=2Mmg（M+m）R。
例3 如图4所示，一长为L、一个质量为M的均匀链条，套在一表面光滑、顶角为α的圆锥体上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？
解析 将链条均匀分割成许多小段，其中每一小段两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F，在链条上任取一小段，设其质量为Δm。分析受力发现，Δm受的力不在同一平面内。可分别从上面和正面观察，分别画出俯视图和正视图，如图5和图6所示。
先看俯视图，设在链条的平面上，Δm所对应的圆心角为Δθ，则每一小段的质量为Δm=Δθ2πM，
在该平面上受拉力T的作用，合力为F=T·Δθ，
再看正视图，Δm受重力为Δmg，支持力为N，二力的合力F'与F平衡，即F=Δmgcotα2，
所以链条中的张力为T=ΔmΔθgcotα2=Mg2πcotα2。
例4 如图7所示，柔软的导线长度为L=0.628m，弯曲地放在水平面上，两端点固定在相距很近的a、b两点，匀强磁场的方向竖直向下，磁感应强度的大小为B=2T，当导线中通以图示方向的电流I=5A时，导线中的张力多大？
解法1 微元法
在导线上任取一电流元，由左手定则判断安培力的方向均向外，使线圈面积增大，由于周长一定时，各种图形中，圆形的面积最大，故导线将形成一个圆环，如图8所示。
圆环的半径为R=L2π=0.1m。
在线圈上任取一微元，设长度为Δl=R·Δθ，可视为直线，则其受安培力大小为
ΔF=BI·Δl=BIR·Δθ，方向垂直于圆弧向外，
而圆弧两端的张力的合力大小为ΔF=T·Δθ，方向沿半径指向圆心，
二者为平衡力，由此可知张力为T=BIR=1N。
解法2 整体法
设想把线圈视为左右两部分，以右面那部分为研究对象，其两端受到向左的张力T，等效长度为l=2R，则受到向右的安培力F=BI·2R，根据受力平衡可知2T=BI·2R，
可知张力为T=BIR=1N。
例5 （第一届全国中学生物理竞赛决赛题）如图9所示，一个质量均匀分布的细圆环，其半径为R，质量为m，令此圆环均匀带正电荷，总电量为Q，现将此圆环放在光滑的水平桌面上，并处于磁感应强度为B匀强磁场中，方向竖直向下，当此圆环绕通过其中心的竖直轴以角速度ω沿顺时针方向旋转时，圆环中的张力等于多少？（设圆环上的带电量不减少，不考虑圆环上电荷之间的相互作用力）
解法1 微元法
取一小段圆弧，对应的圆心角为Δθ，则长度为Δl=R·Δθ，质量为Δm=Δθ2πm，设张力为T，而一小段圆弧的一对张力的合力等于圆弧张力与所对的圆心角（弧度数）之积，
即F=T·Δθ，方向指向圆心；
圆环上的正电荷随着圆弧旋转时，因电荷定向移动而形成的电流为I=Qt=Qω2π，则产生的安培力为F'=BI·Δl
，由左手定则可知其方向背离圆心.
对一小段圆弧由牛顿第二定律和向心力公式有F-F'=Δm·Rω2，
解得T=Rω2π（QB+mω）。
解法2 结论法
假如圆环不带电，则由于转动有离心趋势而产生的张力为T2=mrω22π；假如不计圆环的质量，因圆环转动使电荷定向移动而形成的电流为I=Qt=Qω2π，则由安培力作用而产生的张力为T1=BIR=BQωR2π。
所以合力为T=T1+T2=Rω2π（QB+mω）。
关键词：圆弧线；微元法；张力；结论
中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1006-5962（2013）01-0143-02
1 结论推导
问题 一质量为M的均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若此圆环绕几何轴旋转的角速度为ω，求圆环内部张力T。
解析 如图1所示，在圆环上取微元Δl，对应的圆心角为Δθ，其质量可表示为
Δm=Δθ2πM， （1）
微元Δl受圆环对它的张力为T，则合力为F=2TsinΔθ2。
因圆心角Δθ很小，则sinΔθ2≈Δθ2，
所以F=T·Δθ。 （2）
这表明，小段圆弧线两端的一对张力的合力等于圆弧线张力与所对的圆心角（弧度数）之积。可作为结论直接应用。圆环上的一小段Δl做圆周运动所需的向心力由张力的合力提供，即
F=T·Δθ=Δm·rω2， （3）
所以张力为T=Mrω22π。
2 结论应用
对于这类问题，从张力产生的原因而言，主要包括三种情形：因旋转有离心趋势而产生的张力、因接触面支撑对圆环有扩张趋势而产生的张力、因安培力对磁场中的通电圆环有扩张趋势而产生张力。从圆弧线特点而言，包括可伸长的圆弧线和不可伸长的圆弧线。
例1 橡皮圈挂在钉子上，如图2所示，这时它的长度为2h，然后使橡皮圈在水平面上旋转起来，当转动角速度达到ω时，它的长度也为2h，求橡皮圈转动的角速度。
解析 橡皮圈竖直悬挂时，其张力从上到下呈线性变化，最上端的张力最大，T=mg2，最下端的张力最小，为零，则平均张力为T=mg4，橡皮圈的伸长量跟平均张力成正比。
橡皮圈在水平面上旋转时，由于它的长度也为2h，则张力为T=T=mg4。
在橡皮圈上取一微元，对应的圆心角为Δθ，则其两端张力的合力为F=T·Δθ，方向指向圆心，微元Δm做圆周运动所需的向心力由张力的合力提供，即
F=T·Δθ=Δm·rω2，
质量微元为Δm=Δθ2πm，圆形橡皮圈的半径为r=h2π，
所以ω=πg2h。
例2 半径为R的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳子两端悬挂的两个物体的质量分别为M、m，设圆盘与绳子之间光滑接触，试求圆盘对绳子的法向支持力的线密度。
解析 求圆盘对绳子的法向支持力的线密度，就是求圆盘对绳子单位长度上的法向支持力，因为圆盘与绳子之间光滑接触，则绳子上各处的张力大小相等，设大小为T，在接触处任取一小段绳Δl，对应的圆心角为Δθ，则这小段绳对圆盘产生的压力为ΔN=T·Δθ，
根据牛顿第三定律可知，圆盘对这小段绳子的法向支持力大小为ΔN'=T·Δθ，
则圆盘对绳子的法向支持力的线密度为
n=ΔN'Δl=T·ΔθR·Δθ=TR
两个物体做加速度大小相等的匀加速直线运动，对整体由牛顿第二定律有a=M-mM+mg，
对物体m由牛顿第二定律有T-mg=ma，
由此求得张力大小为T=m（a+g）=2MmM+mg。
所以圆盘对绳子的法向支持力的线密度为n=2Mmg（M+m）R。
例3 如图4所示，一长为L、一个质量为M的均匀链条，套在一表面光滑、顶角为α的圆锥体上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？
解析 将链条均匀分割成许多小段，其中每一小段两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F，在链条上任取一小段，设其质量为Δm。分析受力发现，Δm受的力不在同一平面内。可分别从上面和正面观察，分别画出俯视图和正视图，如图5和图6所示。
先看俯视图，设在链条的平面上，Δm所对应的圆心角为Δθ，则每一小段的质量为Δm=Δθ2πM，
在该平面上受拉力T的作用，合力为F=T·Δθ，
再看正视图，Δm受重力为Δmg，支持力为N，二力的合力F'与F平衡，即F=Δmgcotα2，
所以链条中的张力为T=ΔmΔθgcotα2=Mg2πcotα2。
例4 如图7所示，柔软的导线长度为L=0.628m，弯曲地放在水平面上，两端点固定在相距很近的a、b两点，匀强磁场的方向竖直向下，磁感应强度的大小为B=2T，当导线中通以图示方向的电流I=5A时，导线中的张力多大？
解法1 微元法
在导线上任取一电流元，由左手定则判断安培力的方向均向外，使线圈面积增大，由于周长一定时，各种图形中，圆形的面积最大，故导线将形成一个圆环，如图8所示。
圆环的半径为R=L2π=0.1m。
在线圈上任取一微元，设长度为Δl=R·Δθ，可视为直线，则其受安培力大小为
ΔF=BI·Δl=BIR·Δθ，方向垂直于圆弧向外，
而圆弧两端的张力的合力大小为ΔF=T·Δθ，方向沿半径指向圆心，
二者为平衡力，由此可知张力为T=BIR=1N。
解法2 整体法
设想把线圈视为左右两部分，以右面那部分为研究对象，其两端受到向左的张力T，等效长度为l=2R，则受到向右的安培力F=BI·2R，根据受力平衡可知2T=BI·2R，
可知张力为T=BIR=1N。
例5 （第一届全国中学生物理竞赛决赛题）如图9所示，一个质量均匀分布的细圆环，其半径为R，质量为m，令此圆环均匀带正电荷，总电量为Q，现将此圆环放在光滑的水平桌面上，并处于磁感应强度为B匀强磁场中，方向竖直向下，当此圆环绕通过其中心的竖直轴以角速度ω沿顺时针方向旋转时，圆环中的张力等于多少？（设圆环上的带电量不减少，不考虑圆环上电荷之间的相互作用力）
解法1 微元法
取一小段圆弧，对应的圆心角为Δθ，则长度为Δl=R·Δθ，质量为Δm=Δθ2πm，设张力为T，而一小段圆弧的一对张力的合力等于圆弧张力与所对的圆心角（弧度数）之积，
即F=T·Δθ，方向指向圆心；
圆环上的正电荷随着圆弧旋转时，因电荷定向移动而形成的电流为I=Qt=Qω2π，则产生的安培力为F'=BI·Δl
，由左手定则可知其方向背离圆心.
对一小段圆弧由牛顿第二定律和向心力公式有F-F'=Δm·Rω2，
解得T=Rω2π（QB+mω）。
解法2 结论法
假如圆环不带电，则由于转动有离心趋势而产生的张力为T2=mrω22π；假如不计圆环的质量，因圆环转动使电荷定向移动而形成的电流为I=Qt=Qω2π，则由安培力作用而产生的张力为T1=BIR=BQωR2π。
所以合力为T=T1+T2=Rω2π（QB+mω）。