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《义务教育小学数学课程标准（2011年）》指出，数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标。设计、组织好每一次数学活动是帮助学生获得系统的数学活动经验的关键。在这一过程中，教师要做的就是真正成为学生数学活动的组织者、引导者，学生活动经验的开发者、促进者。
《圆锥的体积》是教科书六年级下册的内容，在本课教学之前，学生已经掌握了圆锥的特征以及圆柱体积的计算方法。因此，依据教材内容和学生认知现状，执教者试图通过猜想、验证等数学活动过程，让学生发现等底等高的圆柱与圆锥之间的关系，最终推导出圆锥的体积公式。
【案例】两次教学过程的对比与分析
在教学展开前，我校同年级的两位教师均设计了前置性学习任务，引导学生先学，具体内容如下：
在此基础上，两位教师都沿着“猜想—验证”的主线展开数学活动，但因验证过程的不同，收到了迥异的教学效果。
【A教师课堂教学片段回放】
（一）交流课前猜想情况
师拿着学生的学具（等底等高的圆柱和圆锥）问：在做实验之前，你猜想圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？
生1：我认为是1/2。
生2：我认为是1/3。
（二）交流课前验证情况
师：在前置作业中，老师要求“在圆锥形的容器中装满水，再倒入圆柱形的容器中”，通过倒水实验你有什么发现呢？
生1：我发现在圆锥形的容器中装满水，往圆柱形的容器中倒了3次正好倒满。
师：（满意地点点头）是的。
生2：我在圆锥形容器中装满水，往圆柱形的容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的。
师：（略皱眉头）你在操作的时候肯定没有很注意，所以有了些小误差，应该是倒3次正好倒满。
师：还有谁要说说自己的发现？
全班沉默不语。
（三）归纳结论：
师：通过课前实验，你现在认为圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？（大部分同学认为是1/3，也有同学认为是1/4，师相机板书：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3）。
教学效果分析：以上教学片段中，在归纳结论时，大部分学生“认为圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。得出这样的结论，也许有些学生对于两者的关系已经有了清晰的认知，但也不排除一部分学生是被概念化地告知以及对于强势的认同。除此以外，一部分同学由于受操作实际结果的影响，认为“圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体的1/4”。综观A教师的教学，因为课前布置了前置任务，所以课堂上仅仅是对前置作业的交流，走了一个形式化的过程，并没有具体关注到学生已有的操作实际，更没有体现验证过程的科学性，学生这样的行为操作是低层次的，他们很难从这样的行为操作过程中真正领悟知识的本质。
【B教师的课堂教学片段回放】
（一）感知“等底等高”
谈话：请同学们比一比课前准备的圆柱和圆锥，它们之间等底等高吗？你是怎么比的？请一位学生拿着学具上台展示比的过程。
明确：像这样底和高分别相等的圆柱和圆锥，我们叫做等底等高。
（二）实验明理
1﹒第一次验证
（1）师：课前，在做实验之前，你猜想圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？
生1：我认为是1/3。
生2：我认为是1/2。
（2）师：课前，同学们在“圆锥形的容器中装满水，再倒入圆柱形的容器中”，在做倒水实验时你觉得要注意什么？
生1：装水要装满，要装到和圆锥的边口齐。
生2：倒水的时候要小心，不能泼洒。
师进一步明确了操作要点。
师：通过倒水实验你有什么发现呢？
生1：我发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
生2：我发现圆锥的体积是圆柱体积的1/3。
生3：我发现在圆锥形的容器中装满水，往圆柱形的容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的，圆柱的体积好像是圆锥体积的4倍。
（3）师：请每位同学拿出等底等高的圆柱和圆锥，根据刚才倒水实验的注意要点，再进行倒水小实验。
（4）师：通过现在的倒水实验，你有什么发现呢？（问刚才的生3）
生3：昨天我做倒水实验的时候不够细致，现在我按照老师说的注意点再做倒水实验，也觉得圆柱的体积应该是圆锥体积的3倍。
2﹒第二次验证
（1）师拿出准备的相对较大的等底等高的圆柱与圆锥的教具，让学生上台比一比，感受圆柱圆锥是否等底等高。
（2）师：你猜想老师准备的这个圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？（学生在下面纷纷回答说是1/3）
（3）请一位学生上台做倒水实验，让全班学生看到操作结果“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。
3﹒第三次验证
（1）师（拿出学生第一次验证用的圆柱和第二次验证用的圆锥）：它们等底等高吗？（学生齐说“不”）
（2）师：圆锥的体积是圆柱体积的1/3吗？（学生齐说“不是”）
（3）归纳结论：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3。
教学效果分析：以上教学片段中，学生在课前进行倒水实验的过程中，也出现了“在圆锥形容器中装满水，往圆柱形容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的”现象。但B老师教学时不仅不回避学生实际操作时暴露出的问题，还特别放大了有些学生的错误，目的就是让全班同学都体会到行为操作的精准会影响到最后的结论。另外，老师舍得花时间让学生经历三次层层递进的验证活动过程，通过行为操作、数学思维，学生真正在探索与交流中理解“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。在这样的数学活动中，学生行为操作的技能是提升的，认知是清晰的，理解是深刻的。
【延伸思考】数学基本活动经验获得的基本路径
王林先生在《我国目前数学活动经验研究综述》一文中指出：“数学基本活动经验是学生个体在经历数学活动的基础上获得的经验，是学生经历数学活动的过程与结果的有机统一体，既包括经历数学活动所获得的经验本身，也包括经历数学活动获得经验的过程。”因此，数学活动的开展是否有效、充分，直接影响活动经验积累的质量。
第一，数学活动经验的获得，应让学生的行为操作由粗略走向精细。
本数学活动环节的设计，依据教材内容和学生的学习基础，让学生经历从“圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的1/2或者1/3”这一猜想到验证的过程。但学生常常受到认知水平和操作能力的限制，如果他们在没有教师指导的前提下开展操作活动，很可能会因操作过程的粗糙，导致操作结果不够精确，影响数学结论的正确性。在A教师课堂的师生交流中可以看到，学生在课前做倒水实验时，之所以对于归纳出的“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”的结论不信服，是因为在装水、倒水的过程中没有注意操作要点。而B教师就关注到了这个细节。由此可见，操作过程中教师应该帮助学生纠正“大概、也许、差不多”这样的粗略操作行为，让学生获得不同活动阶段的经验内容，促使他们从“经历”走向“经验”。
第二，数学活动经验的积累，应让学生的理解由浅表走向深刻。
同样是由猜想到验证的数学活动过程，A教师通过课前学生的一次自主验证就归纳出结论，这个验证过程是不充分、不科学的，因为归纳思想的认识依据在于同类事物的各种特殊情况中蕴藏着同一性和相似性，因此教学中仅凭一个特殊事例一般是不能推出结论的。而B教师却让学生分别使用“等底等高的小的圆柱、圆锥——等底等高的大的圆柱、圆锥——非等底等高的圆柱与圆锥”进行验证，学生经历了3次验证过程。在这个过程中，教师组织学生对参与的数学活动进行了反思，通过学生的不断自我领悟，将原先较低层次的活动经验上升到后来的更高水平，逐步生成新的经验。正是经历了这样的一个数学活动过程，学生对于结论的理解才更加深刻。
（杨颖芳，无锡市前洲中心小学，214000）
责任编辑：宣丽华
《圆锥的体积》是教科书六年级下册的内容，在本课教学之前，学生已经掌握了圆锥的特征以及圆柱体积的计算方法。因此，依据教材内容和学生认知现状，执教者试图通过猜想、验证等数学活动过程，让学生发现等底等高的圆柱与圆锥之间的关系，最终推导出圆锥的体积公式。
【案例】两次教学过程的对比与分析
在教学展开前，我校同年级的两位教师均设计了前置性学习任务，引导学生先学，具体内容如下：
在此基础上，两位教师都沿着“猜想—验证”的主线展开数学活动，但因验证过程的不同，收到了迥异的教学效果。
【A教师课堂教学片段回放】
（一）交流课前猜想情况
师拿着学生的学具（等底等高的圆柱和圆锥）问：在做实验之前，你猜想圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？
生1：我认为是1/2。
生2：我认为是1/3。
（二）交流课前验证情况
师：在前置作业中，老师要求“在圆锥形的容器中装满水，再倒入圆柱形的容器中”，通过倒水实验你有什么发现呢？
生1：我发现在圆锥形的容器中装满水，往圆柱形的容器中倒了3次正好倒满。
师：（满意地点点头）是的。
生2：我在圆锥形容器中装满水，往圆柱形的容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的。
师：（略皱眉头）你在操作的时候肯定没有很注意，所以有了些小误差，应该是倒3次正好倒满。
师：还有谁要说说自己的发现？
全班沉默不语。
（三）归纳结论：
师：通过课前实验，你现在认为圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？（大部分同学认为是1/3，也有同学认为是1/4，师相机板书：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3）。
教学效果分析：以上教学片段中，在归纳结论时，大部分学生“认为圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。得出这样的结论，也许有些学生对于两者的关系已经有了清晰的认知，但也不排除一部分学生是被概念化地告知以及对于强势的认同。除此以外，一部分同学由于受操作实际结果的影响，认为“圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体的1/4”。综观A教师的教学，因为课前布置了前置任务，所以课堂上仅仅是对前置作业的交流，走了一个形式化的过程，并没有具体关注到学生已有的操作实际，更没有体现验证过程的科学性，学生这样的行为操作是低层次的，他们很难从这样的行为操作过程中真正领悟知识的本质。
【B教师的课堂教学片段回放】
（一）感知“等底等高”
谈话：请同学们比一比课前准备的圆柱和圆锥，它们之间等底等高吗？你是怎么比的？请一位学生拿着学具上台展示比的过程。
明确：像这样底和高分别相等的圆柱和圆锥，我们叫做等底等高。
（二）实验明理
1﹒第一次验证
（1）师：课前，在做实验之前，你猜想圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？
生1：我认为是1/3。
生2：我认为是1/2。
（2）师：课前，同学们在“圆锥形的容器中装满水，再倒入圆柱形的容器中”，在做倒水实验时你觉得要注意什么？
生1：装水要装满，要装到和圆锥的边口齐。
生2：倒水的时候要小心，不能泼洒。
师进一步明确了操作要点。
师：通过倒水实验你有什么发现呢？
生1：我发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
生2：我发现圆锥的体积是圆柱体积的1/3。
生3：我发现在圆锥形的容器中装满水，往圆柱形的容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的，圆柱的体积好像是圆锥体积的4倍。
（3）师：请每位同学拿出等底等高的圆柱和圆锥，根据刚才倒水实验的注意要点，再进行倒水小实验。
（4）师：通过现在的倒水实验，你有什么发现呢？（问刚才的生3）
生3：昨天我做倒水实验的时候不够细致，现在我按照老师说的注意点再做倒水实验，也觉得圆柱的体积应该是圆锥体积的3倍。
2﹒第二次验证
（1）师拿出准备的相对较大的等底等高的圆柱与圆锥的教具，让学生上台比一比，感受圆柱圆锥是否等底等高。
（2）师：你猜想老师准备的这个圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？（学生在下面纷纷回答说是1/3）
（3）请一位学生上台做倒水实验，让全班学生看到操作结果“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。
3﹒第三次验证
（1）师（拿出学生第一次验证用的圆柱和第二次验证用的圆锥）：它们等底等高吗？（学生齐说“不”）
（2）师：圆锥的体积是圆柱体积的1/3吗？（学生齐说“不是”）
（3）归纳结论：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3。
教学效果分析：以上教学片段中，学生在课前进行倒水实验的过程中，也出现了“在圆锥形容器中装满水，往圆柱形容器中倒了3次没有倒满，再加了一些才倒满的”现象。但B老师教学时不仅不回避学生实际操作时暴露出的问题，还特别放大了有些学生的错误，目的就是让全班同学都体会到行为操作的精准会影响到最后的结论。另外，老师舍得花时间让学生经历三次层层递进的验证活动过程，通过行为操作、数学思维，学生真正在探索与交流中理解“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”。在这样的数学活动中，学生行为操作的技能是提升的，认知是清晰的，理解是深刻的。
【延伸思考】数学基本活动经验获得的基本路径
王林先生在《我国目前数学活动经验研究综述》一文中指出：“数学基本活动经验是学生个体在经历数学活动的基础上获得的经验，是学生经历数学活动的过程与结果的有机统一体，既包括经历数学活动所获得的经验本身，也包括经历数学活动获得经验的过程。”因此，数学活动的开展是否有效、充分，直接影响活动经验积累的质量。
第一，数学活动经验的获得，应让学生的行为操作由粗略走向精细。
本数学活动环节的设计，依据教材内容和学生的学习基础，让学生经历从“圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的1/2或者1/3”这一猜想到验证的过程。但学生常常受到认知水平和操作能力的限制，如果他们在没有教师指导的前提下开展操作活动，很可能会因操作过程的粗糙，导致操作结果不够精确，影响数学结论的正确性。在A教师课堂的师生交流中可以看到，学生在课前做倒水实验时，之所以对于归纳出的“圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的1/3”的结论不信服，是因为在装水、倒水的过程中没有注意操作要点。而B教师就关注到了这个细节。由此可见，操作过程中教师应该帮助学生纠正“大概、也许、差不多”这样的粗略操作行为，让学生获得不同活动阶段的经验内容，促使他们从“经历”走向“经验”。
第二，数学活动经验的积累，应让学生的理解由浅表走向深刻。
同样是由猜想到验证的数学活动过程，A教师通过课前学生的一次自主验证就归纳出结论，这个验证过程是不充分、不科学的，因为归纳思想的认识依据在于同类事物的各种特殊情况中蕴藏着同一性和相似性，因此教学中仅凭一个特殊事例一般是不能推出结论的。而B教师却让学生分别使用“等底等高的小的圆柱、圆锥——等底等高的大的圆柱、圆锥——非等底等高的圆柱与圆锥”进行验证，学生经历了3次验证过程。在这个过程中，教师组织学生对参与的数学活动进行了反思，通过学生的不断自我领悟，将原先较低层次的活动经验上升到后来的更高水平，逐步生成新的经验。正是经历了这样的一个数学活动过程，学生对于结论的理解才更加深刻。
（杨颖芳，无锡市前洲中心小学，214000）
责任编辑：宣丽华