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1 随机抽样问题
1. 1 甲组中应抽取的城市数为 ×4=1.
2. D ②都不能为系统抽样，但③都能为系统抽样，故A错；②能为分层抽样，故B错；④不能为系统抽样，故C错.
2 用样本估计总体
1. 15.7 0.06 0.16 0.38×（x0-15）=0.5，x0=15.7.
2. 甲组 甲、乙两组的平均数都是84，甲、乙两组的方差分别是20.4，22，由于20.4<22，所以甲、乙两组中数学测试成绩比较集中的小组是甲组.
3 变量相关性
1. D 因为相关指数越大，拟合效果越好；而残差平方和越大，拟合效果越差.
2. （1）k2= ≈11.978>7.879，所以能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜欢运动与性别有关.
（2）设所抽样本中有m名男生，则 = ，得m=4（人），所以样本中有4名男生、2名女生，将他们分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2. 从中任选2人的基本事件有：（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，B4），（B2，G1），（B2，G2），（B3，B4），（B3，G1），（B3，G2），（B4，G1），（B4，G2），（G1，G2），共15个. 其中恰有1名男生和1名女生的事件有：（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（B4，G1），（B4，G2），共8个. 所以恰有1名男生和1名女生的概率为P= .
4 随机事件的概率
1. P= = .
2. （1）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10. 因为第3， 4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组应抽取的人数分别为第3组： ×6=3；第4组： ×6=2；第5组： ×6=1. 所以应从第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人.
（2）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的基本事件包括：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15种. 其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的情况有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 = .
5 离散型随机变量的概率分布
1. （1）ξ的可能取值为1，2，3.
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B.
P（ξ=1）=P（ ）=1- = ，P（ξ=2）=P（A ）=P（A）P（ ）= ×1- = ，P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）= × = .
所以ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望E（ξ）=1× 2× 3× = .
（2）当ξ=1时， f（x）=3sin π=3sin x ， f（x）为偶函数；
当ξ=2时，f（x）=3sin π=3sin x π， f（x）为奇函数；
当ξ=3时，f（x）=3sin π=3sin x π， f（x）为偶函数.
所以事件D发生的概率是 .
2. （1）随机变量甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数X的分布列为：
泳道相隔数X的期望为：
E（X）=0× 1× 2× 3× 4× 5× 6× =2.
（2）P（2≤X≤4）= = .
综合测试
1. D 因为分层抽样是按比抽取，所以女运动员中应抽取的人数为42× =12.
2. A 由 =1-0.1-0.24-0.36=0.3，得n=100.
3. D 观察可知，乙10次命中的环数比甲集中，所以乙比甲的射击成绩稳定（或计算方差可得乙射击成绩的方差较小）.
4. D 由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A正确；回归直线过样本点的中心，选项B正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D不正确.
5. B 基本事件总数为6×6=36.由a，b共线得m n=4，符合此式的基本事件包含3个：（1，3），（2，2），（3，1），所以a和b共线的概率为 .
6. B P（ξ≤1）=P（ξ=0） P（ξ=1）= ，故选B.
7. 由E（ξ）=np=6，D（ξ）=np（1-p）=5，所以p= .
8. 根据定积分的应用可知所求阴影部分的面积为 （x-x3）dx= x2- x410= ，所以由几何概型公式可得点P恰好取自阴影部分的概率为 .
9. 4 由正态曲线知，直线x=1为对称轴，a-2=2，a=4.
10. （1）样本的频率分布表如下：
频率分布直方图略.
（2）估计样本的平均数为45×0.04 55×0.06 65×0.28 75×0.30 85×0.24 95×0.08=73.8，所以估计全校参加高一质量检测的学生的数学平均成绩为73.8.
（3）[40，50）内有2人，记为甲，A；[90，100）内有4人，记为乙，B，C，D. 则“二帮一”小组有以下12种分组办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲BC，甲BD，甲CD，A乙B，A乙C，A乙D，ABC，ABD，ACD.其中甲、乙两位同学被分在同一小组有3种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D. 所以甲、乙两位同学恰好被安排在同一小组的概率为P= = .
11. （1）设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p ，p ，p ，则p =2p1，p =3p1， p p p （0.0375 0.0125）×5=1， 解得p =0.125，p =0.25，p =0.375.因为p =0.25= ，所以n=48.
（2）由（1）可得，一个报考学生的体重超过60千克的概率为p=p （0.0375 0.0125）×5= ，所以X～3 ， ，所以P（X=k）=C k· 3-k，k=0，1，2，3.
随机变量X的分布列为：
则E（X）=0× 1× 2× 3× = 或E（X）=3× = .
12. （1）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么P（A）= × = . 所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为 .
（2）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B，那么P（B）=3× × = ，所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是P（ ）=1-P（B）= .
（3）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4.那么P（ξ=0）=C × = ；P（ξ=1）=C × × = ；P（ξ=2）=C × × = ；P（ξ=3）=C × × = ；P（ξ=4）=C × = . 所以随机变量ξ的分布列为：
E（ξ）=0× 1× 2× 3× 4× = .
1. 1 甲组中应抽取的城市数为 ×4=1.
2. D ②都不能为系统抽样，但③都能为系统抽样，故A错；②能为分层抽样，故B错；④不能为系统抽样，故C错.
2 用样本估计总体
1. 15.7 0.06 0.16 0.38×（x0-15）=0.5，x0=15.7.
2. 甲组 甲、乙两组的平均数都是84，甲、乙两组的方差分别是20.4，22，由于20.4<22，所以甲、乙两组中数学测试成绩比较集中的小组是甲组.
3 变量相关性
1. D 因为相关指数越大，拟合效果越好；而残差平方和越大，拟合效果越差.
2. （1）k2= ≈11.978>7.879，所以能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜欢运动与性别有关.
（2）设所抽样本中有m名男生，则 = ，得m=4（人），所以样本中有4名男生、2名女生，将他们分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2. 从中任选2人的基本事件有：（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，B4），（B2，G1），（B2，G2），（B3，B4），（B3，G1），（B3，G2），（B4，G1），（B4，G2），（G1，G2），共15个. 其中恰有1名男生和1名女生的事件有：（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（B4，G1），（B4，G2），共8个. 所以恰有1名男生和1名女生的概率为P= .
4 随机事件的概率
1. P= = .
2. （1）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10. 因为第3， 4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组应抽取的人数分别为第3组： ×6=3；第4组： ×6=2；第5组： ×6=1. 所以应从第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人.
（2）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者的基本事件包括：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15种. 其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的情况有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 = .
5 离散型随机变量的概率分布
1. （1）ξ的可能取值为1，2，3.
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B.
P（ξ=1）=P（ ）=1- = ，P（ξ=2）=P（A ）=P（A）P（ ）= ×1- = ，P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）= × = .
所以ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望E（ξ）=1× 2× 3× = .
（2）当ξ=1时， f（x）=3sin π=3sin x ， f（x）为偶函数；
当ξ=2时，f（x）=3sin π=3sin x π， f（x）为奇函数；
当ξ=3时，f（x）=3sin π=3sin x π， f（x）为偶函数.
所以事件D发生的概率是 .
2. （1）随机变量甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数X的分布列为：
泳道相隔数X的期望为：
E（X）=0× 1× 2× 3× 4× 5× 6× =2.
（2）P（2≤X≤4）= = .
综合测试
1. D 因为分层抽样是按比抽取，所以女运动员中应抽取的人数为42× =12.
2. A 由 =1-0.1-0.24-0.36=0.3，得n=100.
3. D 观察可知，乙10次命中的环数比甲集中，所以乙比甲的射击成绩稳定（或计算方差可得乙射击成绩的方差较小）.
4. D 由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A正确；回归直线过样本点的中心，选项B正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D不正确.
5. B 基本事件总数为6×6=36.由a，b共线得m n=4，符合此式的基本事件包含3个：（1，3），（2，2），（3，1），所以a和b共线的概率为 .
6. B P（ξ≤1）=P（ξ=0） P（ξ=1）= ，故选B.
7. 由E（ξ）=np=6，D（ξ）=np（1-p）=5，所以p= .
8. 根据定积分的应用可知所求阴影部分的面积为 （x-x3）dx= x2- x410= ，所以由几何概型公式可得点P恰好取自阴影部分的概率为 .
9. 4 由正态曲线知，直线x=1为对称轴，a-2=2，a=4.
10. （1）样本的频率分布表如下：
频率分布直方图略.
（2）估计样本的平均数为45×0.04 55×0.06 65×0.28 75×0.30 85×0.24 95×0.08=73.8，所以估计全校参加高一质量检测的学生的数学平均成绩为73.8.
（3）[40，50）内有2人，记为甲，A；[90，100）内有4人，记为乙，B，C，D. 则“二帮一”小组有以下12种分组办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲BC，甲BD，甲CD，A乙B，A乙C，A乙D，ABC，ABD，ACD.其中甲、乙两位同学被分在同一小组有3种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D. 所以甲、乙两位同学恰好被安排在同一小组的概率为P= = .
11. （1）设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p ，p ，p ，则p =2p1，p =3p1， p p p （0.0375 0.0125）×5=1， 解得p =0.125，p =0.25，p =0.375.因为p =0.25= ，所以n=48.
（2）由（1）可得，一个报考学生的体重超过60千克的概率为p=p （0.0375 0.0125）×5= ，所以X～3 ， ，所以P（X=k）=C k· 3-k，k=0，1，2，3.
随机变量X的分布列为：
则E（X）=0× 1× 2× 3× = 或E（X）=3× = .
12. （1）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么P（A）= × = . 所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为 .
（2）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B，那么P（B）=3× × = ，所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是P（ ）=1-P（B）= .
（3）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4.那么P（ξ=0）=C × = ；P（ξ=1）=C × × = ；P（ξ=2）=C × × = ；P（ξ=3）=C × × = ；P（ξ=4）=C × = . 所以随机变量ξ的分布列为：
E（ξ）=0× 1× 2× 3× 4× = .