论文部分内容阅读
【摘要】“数”与“形”是贯穿整个中小学数学教材的两条主线，更是贯穿小学数学教学始终的基本内容。小学生思维发展的基本特点是以具体形象思维为主逐步过渡到以抽象逻辑思维为主。抽象逻辑思维在很大程度上仍然需要直接与生活感知经验联系与支撑，具有很大的具体形象思维成分。小学低年段的孩子更是主要以动作思维与形象思维为主。
【关键词】数形结合；小学低年段；直观形象；抽象思维
著名的教育家张伯苓说：“要教出‘活孩子’，而不是‘死孩子’”。这也许就是“授之以鱼不如授之以渔”的白话文版。教学不能靠死记硬背，题海寻知，而是要点燃学生的求知欲，以法求知，触类傍通。
数形结合是一个数学思维方法，其应用大致可以分为以下两种情况：一种是“以形助数”，另一种是“以数辅形”。简单来说，“数”指数学问题，“形”指空间图形。两者之间的关系是密不可分的，缺一不可，相互依存。数形结合思想关键是代数问题与图形之间的相互转化。使代数问题几何化，几何问题代数化。在小学阶段，“形”一般有几何图形、线段图、数线、方格纸、方向标、坐标、示意图、列表、动画等一系列直观图形。
下面就乘法知识在第一学段各部分课程内容中的构建浅析数形结合思想的运用。
一、以形识数，以数显形，帮助学生多角度理解乘法的意义
在北师大版二年级上册第三单元乘法知识中，通过学生已有的数数经验，“摆一摆、数一数”，优化数数方法。这一知识点为学生学习乘法积累经验的起始课，突出其与认识乘法之间的关系，为体会学习乘法的必要性、理解乘法的意义奠定基础。
数数的结果可以用相同加数的连加算式来表示，当相同的加数个数较多时，无论写算式还是计算都显得很麻烦，为了追求算式的简洁，在这一类特殊的加法算式基础上很自然地引出了乘法算式。
为了让学生更全面理解乘法的意义，教学时应该从“形”识“数”，接着又从“数”中显“形”，使“数形”互通。让学生达到看乘法算式能摆出、画出或联系上生活的实际经验，使数学回归到生活中去。
乘法意义的产生本来就具有抽象性，要设法让学生能够看得见、摸得着。只要看得见、摸得着，低年级的孩子才会感到有趣、容易与身边的生活感知获得联系。
二、以形算数，见数思形，层层推进算理的清晰化
在学习乘法计算时，不管是一位数乘两位数和三位数的计算，还是两位数乘两位数的计算，甚至是两位数乘多位数的计算，都经历从直观运算到算法运算的抽象过程，都是以直观模型使未知的知识转化为已知的过程。
以“学校举行队列表演，有12行，每行有14人，有多少人参加队列表演？”为例。
首先要列出算式14×12，把实际问题变成数学问题。再利用点子图“圈一圈”探究算法。
学生可能会出现以下计算方法：
（1）用加法拆分其中一个乘数或两个乘数
（2）用乘法拆分其中一个乘数
由于算法具有多样性，只要学生能合理的解释都应该给予肯定。然后通过分类比较进行优化计算方法。
接着让学生说一说列表的算法与点子图算法有什么联系与区别。列表算法是点子图算法的抽象形式，用列表代替点子图，可以避免画点子图的麻烦。
让学生经历从点子图到列表算法，最后过度到竖式算法，逐步形成抽象思维，使学生能见数思形。
其实在整个乘法计算算理的理解与掌握过程中不断以螺旋模式渗透乘法定律的建模思想，为四年级上册的运算定律学习埋下伏笔，让学生有不同层次的体验和了解。
首先是二年级上册的表内乘法。
其次是三年级上册的一位数乘两、三位数的乘法。
运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解乘法算理，最后是延伸到两位数乘多位数。其目的都是为接下来的知识学习做铺垫。
使学生有更多的直观操作形象思维，可以把乘法运算定律由数变形，由形变数，看数显形，数形互通。
作为一个数学教师，必须了解每个知识点在整个数学系统中的位置，以及与前面知识的联系。另一方面，教师也必须知道，哪些知识将会以今天的知识为基础。这样才能使学生形成知识包，构建知识模型，建立知识体系。
三、以形量数，看数画形，化抽象概念为直观模型
什么是面积？学生头脑第一反应不会是抽象的語言概念，而是直接举例子说明。通过“看一看、比一比、剪一剪、拼一拼、摆一摆”等可操作的活动，认识面积的含义及比较大小。再通过“数一数”方格纸上的图形面积比较，体会图形的面积是一个数量概念，与图形边界的形状无关，也与图形边界的长度无关。
此时，再引出统一面积单位的必要性，为学习长方形和正方形的面积计算打下基础。
当学生用面积单位的小正方形密铺完长方形或正方形，大脑中的直观形象图形马上从记忆中调出。因为之前在学习乘法意义的时候，曾经使用过画方格的形式表示过乘法意义。
经历“看、摸、剪、拼、比、摆、算”一系列的活动，学生在大脑中便能生成一个知识包。
四、以数展形，以形拓数，充分发展抽象思维与创新思维
最常见的以数展形的形式是看图联系生活实际说说图中表示的意思。如图：
学生常常会编写为：
（1）学校组织同学们参加队列操表演，每行排28人，正好排6行。如果排4行，每行排多少人？
（2）学校组织同学们春游，有6辆中巴车，每辆中巴车坐28人，如果现在改坐4辆大巴车，每辆大巴车坐多少人？
这种形式能把图形抽象联系到实际生活中，让学生认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题。
而另一种以形拓数的形式是调动学生运用数学知识勇于创新的一种形式，是知识得到综合运用的一种方法。
如算式24×2 4能解决生活中哪些数学问题。学生会积极搜索大脑中之前形成的与之相类似的直观图形，再抽象出实际数学问题。学生会联想到以下具体图形。 第一种图形
根据这一图形学生会联系到生活中能解决以下数学问题：
①小明今年24岁，妈妈的年龄是小明的2倍多4岁，妈妈今年多少岁？
②学校合唱队有24人，舞蹈队是合唱队的2倍多4人，舞蹈队有多少人？
……
第二种图形
根据这一图形学生会联系到生活中能解決以下数学问题：
①学校合唱队有24人，舞蹈队比合唱队多4人，合唱队和舞蹈队一共有多少人？
②水果店运来24箱苹果，运来的苹果箱数比雪梨少4箱，苹果和雪梨一共有多少箱？
……
第三种图形
根据这一图形学生会联系到生活中能解决以下数学问题：
①学校买了24个篮球，买的皮球和篮球一样多，还买了4个足球，三种球一共有多少个？
②学校合唱队和舞蹈队各有24人，科技队有4人，三个队伍一共有多少人？
……
同一个算式却引发了学生有不同的直观形象图，完善了概念特征，形成连贯的系统，发展学生的抽象思维。
纵观整个乘法知识体系的构建，不难发现数形结合具有形象的直观性，易于让学生理解和接受的有点；也不难发现它对知识点之间的联系起到了桥梁作用。
数形结合思想在小学第一学段中的教学运用应注意：
1.善于发掘教材中含有数形结合思想的内容
数形结合思想不像数学知识、解题方法具有某种形式，只是体现为一种意识或观念。它不可能是一朝一夕、一招一式便可以形成的。它是一个渐进完善的过程。她需要日积月累、长期渗透才能逐渐为学生所掌握。这需要教师做教学的有心人，从学生发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划、有系统地适时适度渗透，使数形结合思想能始终贯穿在教学过程中。这更需要教师对教材进行挖掘、分析，善于寻找含有数形结合思想的内容。在小学“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”这四个学习领域中都能应用数形结合思想进行教学。通过对小学整体教材的分析，初步整理了小学数形结合思想在各教学领域的渗透点：（1）“数与代数”：数的认识及计算都能借助小棒、计算图来理解算理、法则和方法。（2）“图形与几何”：可以借助数的知识及数量关系进行各平面图形的周长、面积及体积的计算。（3）“统计与概率”：通过图形演示移多补少来理解平均数的含义。（4）“综合与实践”：从所给问题的情境中辨别认出数与形的一种特定关系或结构，运用画分析图、画示意图、画线段图等方法分析理解，解决问题。
2.数形结合思想的运用要符合学生的发展特征
数学一门抽象的学科。一些知识点单单以字面上来理解的话，教师并不能很好地阐述，学生也不容易理解，学习印象也不够深刻。长期以往，学生的学习兴趣被慢慢消磨光，更别谈以后怎样应用它，甚至会成为学习路上的一个绊脚石。
从心理学角度来看，儿童认识事物是从感知开始。也就是看、摸、摆等活动；然后形成表象。表象是当事物不在眼前时，人们在头脑中出现的关于事物的形象，也就是图形。再由表象逐步发展到抽象的认识。也就是学生运用数学符号和概念进行数学运算或推导的活动。
从学生学习的角度来看，他们对一个概念第一次以最简形式被引入时最为重视。一旦学生对该概念的最简形式有了全面的了解，学习后续的该概念更高级、更复杂的形式就有了坚实的基础。后续的学习也会强化在最简形式时学到的思想，形成更丰富的知识包。
从学生的兴趣特点来看，兴趣是引起和保持注意的重要因素，是学习活动的强大动力，是开发智力的钥匙。著名的教育家皮亚杰说过：“儿童是具有主动性的人，所教的东西要能引起儿童的兴趣，符合他们的需要，才能有效地促进他的发展。”孔子也曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”所以，教师要从具体形象的情境、行之有效的操作活动、数形结合等方面使学生从有趣到乐趣再过渡到志趣。
从“数”与“形”的关系来看， “数”与“形”都是相互依存，相互渗透，相互结合的。只有使数与形各展所长，优势互补，相辅相成，才能使逻辑思维与形象思维完美地统一起来。低年段学生的思维很具体形象，所以低年段学生及图形构建有困难的学生适宜以形助数的直观思维。其教学大多以观察、画一画、折一折、摆一摆、拼一拼等活动开始，在感知和积累了大量空间图形的具体形象及抽象化图形后，自然就会过渡到复杂、抽象的图形学习。
基于以上分析，数形结合思想不仅有助于学生生成多角度的概念，形成灵活多样的运算方法，开阔了学生的思路，提高学生的创造思维能力。还有助于提高学生的迁移思维能力、分析问题能力及解决问题的能力，对学生今后的数学学习和知识应用将有深远的影响。更有助于数学各个领域的融会贯通，层层递进，形成螺旋式的知识体系，使数学模型整体化。
【关键词】数形结合；小学低年段；直观形象；抽象思维
著名的教育家张伯苓说：“要教出‘活孩子’，而不是‘死孩子’”。这也许就是“授之以鱼不如授之以渔”的白话文版。教学不能靠死记硬背，题海寻知，而是要点燃学生的求知欲，以法求知，触类傍通。
数形结合是一个数学思维方法，其应用大致可以分为以下两种情况：一种是“以形助数”，另一种是“以数辅形”。简单来说，“数”指数学问题，“形”指空间图形。两者之间的关系是密不可分的，缺一不可，相互依存。数形结合思想关键是代数问题与图形之间的相互转化。使代数问题几何化，几何问题代数化。在小学阶段，“形”一般有几何图形、线段图、数线、方格纸、方向标、坐标、示意图、列表、动画等一系列直观图形。
下面就乘法知识在第一学段各部分课程内容中的构建浅析数形结合思想的运用。
一、以形识数，以数显形，帮助学生多角度理解乘法的意义
在北师大版二年级上册第三单元乘法知识中，通过学生已有的数数经验，“摆一摆、数一数”，优化数数方法。这一知识点为学生学习乘法积累经验的起始课，突出其与认识乘法之间的关系，为体会学习乘法的必要性、理解乘法的意义奠定基础。
数数的结果可以用相同加数的连加算式来表示，当相同的加数个数较多时，无论写算式还是计算都显得很麻烦，为了追求算式的简洁，在这一类特殊的加法算式基础上很自然地引出了乘法算式。
为了让学生更全面理解乘法的意义，教学时应该从“形”识“数”，接着又从“数”中显“形”，使“数形”互通。让学生达到看乘法算式能摆出、画出或联系上生活的实际经验，使数学回归到生活中去。
乘法意义的产生本来就具有抽象性，要设法让学生能够看得见、摸得着。只要看得见、摸得着，低年级的孩子才会感到有趣、容易与身边的生活感知获得联系。
二、以形算数，见数思形，层层推进算理的清晰化
在学习乘法计算时，不管是一位数乘两位数和三位数的计算，还是两位数乘两位数的计算，甚至是两位数乘多位数的计算，都经历从直观运算到算法运算的抽象过程，都是以直观模型使未知的知识转化为已知的过程。
以“学校举行队列表演，有12行，每行有14人，有多少人参加队列表演？”为例。
首先要列出算式14×12，把实际问题变成数学问题。再利用点子图“圈一圈”探究算法。
学生可能会出现以下计算方法：
（1）用加法拆分其中一个乘数或两个乘数
（2）用乘法拆分其中一个乘数
由于算法具有多样性，只要学生能合理的解释都应该给予肯定。然后通过分类比较进行优化计算方法。
接着让学生说一说列表的算法与点子图算法有什么联系与区别。列表算法是点子图算法的抽象形式，用列表代替点子图，可以避免画点子图的麻烦。
让学生经历从点子图到列表算法，最后过度到竖式算法，逐步形成抽象思维，使学生能见数思形。
其实在整个乘法计算算理的理解与掌握过程中不断以螺旋模式渗透乘法定律的建模思想，为四年级上册的运算定律学习埋下伏笔，让学生有不同层次的体验和了解。
首先是二年级上册的表内乘法。
其次是三年级上册的一位数乘两、三位数的乘法。
运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解乘法算理，最后是延伸到两位数乘多位数。其目的都是为接下来的知识学习做铺垫。
使学生有更多的直观操作形象思维，可以把乘法运算定律由数变形，由形变数，看数显形，数形互通。
作为一个数学教师，必须了解每个知识点在整个数学系统中的位置，以及与前面知识的联系。另一方面，教师也必须知道，哪些知识将会以今天的知识为基础。这样才能使学生形成知识包，构建知识模型，建立知识体系。
三、以形量数，看数画形，化抽象概念为直观模型
什么是面积？学生头脑第一反应不会是抽象的語言概念，而是直接举例子说明。通过“看一看、比一比、剪一剪、拼一拼、摆一摆”等可操作的活动，认识面积的含义及比较大小。再通过“数一数”方格纸上的图形面积比较，体会图形的面积是一个数量概念，与图形边界的形状无关，也与图形边界的长度无关。
此时，再引出统一面积单位的必要性，为学习长方形和正方形的面积计算打下基础。
当学生用面积单位的小正方形密铺完长方形或正方形，大脑中的直观形象图形马上从记忆中调出。因为之前在学习乘法意义的时候，曾经使用过画方格的形式表示过乘法意义。
经历“看、摸、剪、拼、比、摆、算”一系列的活动，学生在大脑中便能生成一个知识包。
四、以数展形，以形拓数，充分发展抽象思维与创新思维
最常见的以数展形的形式是看图联系生活实际说说图中表示的意思。如图：
学生常常会编写为：
（1）学校组织同学们参加队列操表演，每行排28人，正好排6行。如果排4行，每行排多少人？
（2）学校组织同学们春游，有6辆中巴车，每辆中巴车坐28人，如果现在改坐4辆大巴车，每辆大巴车坐多少人？
这种形式能把图形抽象联系到实际生活中，让学生认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题。
而另一种以形拓数的形式是调动学生运用数学知识勇于创新的一种形式，是知识得到综合运用的一种方法。
如算式24×2 4能解决生活中哪些数学问题。学生会积极搜索大脑中之前形成的与之相类似的直观图形，再抽象出实际数学问题。学生会联想到以下具体图形。 第一种图形
根据这一图形学生会联系到生活中能解决以下数学问题：
①小明今年24岁，妈妈的年龄是小明的2倍多4岁，妈妈今年多少岁？
②学校合唱队有24人，舞蹈队是合唱队的2倍多4人，舞蹈队有多少人？
……
第二种图形
根据这一图形学生会联系到生活中能解決以下数学问题：
①学校合唱队有24人，舞蹈队比合唱队多4人，合唱队和舞蹈队一共有多少人？
②水果店运来24箱苹果，运来的苹果箱数比雪梨少4箱，苹果和雪梨一共有多少箱？
……
第三种图形
根据这一图形学生会联系到生活中能解决以下数学问题：
①学校买了24个篮球，买的皮球和篮球一样多，还买了4个足球，三种球一共有多少个？
②学校合唱队和舞蹈队各有24人，科技队有4人，三个队伍一共有多少人？
……
同一个算式却引发了学生有不同的直观形象图，完善了概念特征，形成连贯的系统，发展学生的抽象思维。
纵观整个乘法知识体系的构建，不难发现数形结合具有形象的直观性，易于让学生理解和接受的有点；也不难发现它对知识点之间的联系起到了桥梁作用。
数形结合思想在小学第一学段中的教学运用应注意：
1.善于发掘教材中含有数形结合思想的内容
数形结合思想不像数学知识、解题方法具有某种形式，只是体现为一种意识或观念。它不可能是一朝一夕、一招一式便可以形成的。它是一个渐进完善的过程。她需要日积月累、长期渗透才能逐渐为学生所掌握。这需要教师做教学的有心人，从学生发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划、有系统地适时适度渗透，使数形结合思想能始终贯穿在教学过程中。这更需要教师对教材进行挖掘、分析，善于寻找含有数形结合思想的内容。在小学“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”这四个学习领域中都能应用数形结合思想进行教学。通过对小学整体教材的分析，初步整理了小学数形结合思想在各教学领域的渗透点：（1）“数与代数”：数的认识及计算都能借助小棒、计算图来理解算理、法则和方法。（2）“图形与几何”：可以借助数的知识及数量关系进行各平面图形的周长、面积及体积的计算。（3）“统计与概率”：通过图形演示移多补少来理解平均数的含义。（4）“综合与实践”：从所给问题的情境中辨别认出数与形的一种特定关系或结构，运用画分析图、画示意图、画线段图等方法分析理解，解决问题。
2.数形结合思想的运用要符合学生的发展特征
数学一门抽象的学科。一些知识点单单以字面上来理解的话，教师并不能很好地阐述，学生也不容易理解，学习印象也不够深刻。长期以往，学生的学习兴趣被慢慢消磨光，更别谈以后怎样应用它，甚至会成为学习路上的一个绊脚石。
从心理学角度来看，儿童认识事物是从感知开始。也就是看、摸、摆等活动；然后形成表象。表象是当事物不在眼前时，人们在头脑中出现的关于事物的形象，也就是图形。再由表象逐步发展到抽象的认识。也就是学生运用数学符号和概念进行数学运算或推导的活动。
从学生学习的角度来看，他们对一个概念第一次以最简形式被引入时最为重视。一旦学生对该概念的最简形式有了全面的了解，学习后续的该概念更高级、更复杂的形式就有了坚实的基础。后续的学习也会强化在最简形式时学到的思想，形成更丰富的知识包。
从学生的兴趣特点来看，兴趣是引起和保持注意的重要因素，是学习活动的强大动力，是开发智力的钥匙。著名的教育家皮亚杰说过：“儿童是具有主动性的人，所教的东西要能引起儿童的兴趣，符合他们的需要，才能有效地促进他的发展。”孔子也曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”所以，教师要从具体形象的情境、行之有效的操作活动、数形结合等方面使学生从有趣到乐趣再过渡到志趣。
从“数”与“形”的关系来看， “数”与“形”都是相互依存，相互渗透，相互结合的。只有使数与形各展所长，优势互补，相辅相成，才能使逻辑思维与形象思维完美地统一起来。低年段学生的思维很具体形象，所以低年段学生及图形构建有困难的学生适宜以形助数的直观思维。其教学大多以观察、画一画、折一折、摆一摆、拼一拼等活动开始，在感知和积累了大量空间图形的具体形象及抽象化图形后，自然就会过渡到复杂、抽象的图形学习。
基于以上分析，数形结合思想不仅有助于学生生成多角度的概念，形成灵活多样的运算方法，开阔了学生的思路，提高学生的创造思维能力。还有助于提高学生的迁移思维能力、分析问题能力及解决问题的能力，对学生今后的数学学习和知识应用将有深远的影响。更有助于数学各个领域的融会贯通，层层递进，形成螺旋式的知识体系，使数学模型整体化。