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[摘 要]数学是培养学生理性思维和想象能力的学科，数学教学是培养学生理性气质、适应学生个性发展需要的基础工作。教学只有顺应知识的逻辑起点、尊重和接纳学生的现实起点，有效实施“因材施教”，才能实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的目标。學生的成长只有越过了学科本身和现实水平的瓶颈，才能实现自主性的伸展与跳跃。
[关键词]数学学习 伸展 跳跃 成长
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）11-005
“学有起点，但无终点。”这是对教育真谛的最好诠释。无论水平高低、能力强弱，在学习过程中学生对数学仍能保持一份兴趣，仍有思考的热情、沟通的欲望，仍有坚韧不拔的毅力、谨慎认真的品质，学生的生命就能获得伸展与跳跃，而这种伸展与跳跃就是学生最好的成长。
[案例一] “谢式做法”的“横空出世”
教学除数是小数的除法竖式，形如“4.2”时，一般会指导学生划去算式中的小数点转化成除数是整数的除法，这也是教材中的常规做法，但是竖式中原有的小数点和移动后的小数点的彼此干扰增加了计算难度，我一直也没有想到更好的解决办法。
前不久教学除数是小数的除法时，我突发念想：什么都不讲，学生会怎么做？
根据已有经验，学生懂得根据商不变的规律把原有算式“7.98÷4.2”转化成除数是整数的除法进行计算，于是我让学生尝试竖式计算。结果不同能力水平的学生呈现了不一样的状态：一部分学生因没有先例可循无从下手，示意他们看课本，但课本上也只有4.2的提示，没有具体做法，面对这个变形的竖式，他们一样手足无措；一部分学生开始尝试利用原有竖式“4.2”步步揣摩（是基于已有除法经验的合情推理，有一定的思维难度）；还有几名学生索性写成“420”后直接计算；只有一名姓谢的学生直接写成转化之后的除法竖式“42”，并很快完成，我把它命名为“谢式做法”。静静的课堂，火热的思考，各种想法都在悄然酝酿。
纵观全班，没有发现一名学生写成教材中的格式，看来教材推广的竖式不会自然生成。我先讲解了教材中的竖式，再把几种不同的做法集中呈现在黑板上，让学生自己登台讲述思路。在一一解读与比较后，学生明白了书上的竖式书写既保持了原有算式的样式，又有转化之后的面貌，前后变化一目了然，但仍觉得不习惯而且有点繁，不如“420”和“42”的竖式利落清爽。我对于“420”和“42”哪个更好并没有做出定论，而是让学生自由选择适合自己的竖式。其实，好与不好得看具体情况，再说，除了除数的大小变化，就此题而言它们没有明显的难度差别。
随着情况的复杂、练习的深入，少数学生坚持采取书上的常规做法，大部分学生开始趋向于“谢式做法”。教材呈现的只是个例子，适合学生的才是最好的。受学生的感染，我也在不知不觉中开始经常运用“谢式做法”了。这个姓谢的学生学习仅仅处于下游水平，却这丝毫没有影响“谢式做法”的“横空出世”，“谢式做法”的诞生让他足足“美”了一个星期，这样的体验何尝不是他学习经历中的一次优美伸展与华丽蜕变？
回顾“除数是小数的除法”的学习过程，教师介入很少，因为教师的“后退”成就了一个“学习共同体”，学生独立思考、自然生成、互相启发、彼此影响。无论是什么层次的学生都在与他人的交流中增强理解，在比较辨析中认同和接纳，在自我反思和同伴互助中丰富认识，发展能力。“谢式做法”的“横空出世”正是在这样的共同体中产生并得到普及，这正是学习的意义。
[案例二]直逼本质的数学发现
首先给出五年级教材中的一组习题：先算一算，再比较每组题的得数，你有什么发现？
4.8÷0.1= 2.6×0.5= 1.5÷0.25=
4.8×10= 2.6÷2= 1.5×4=
学生的描述不外乎：得数相等；一道是乘法，一道是除法；结果大于或小于被除数（或第一个因数）……显然，这些表象描述不够全面深入且不抵及编者意图。
题目涉及的要素比较复杂，我不再指望更有价值的发现，准备深度介入。突然，小林的手在我面前使劲地摇晃，大有不喊她回答绝不罢手之意。尽管知道这是个有点冲动的女孩，经常会有片面的理解和莫名的错误，但为了不挫伤她的积极性，还是让她来回答问题。小林颇为激动地说：“我发现除了大家说的，还有一个秘密——就是第一个算式里的除数和第二个算式里的后一个因数的积全部是1。”感觉其他同学还不能明白，她忍不住走上讲台对着算式比划着、讲述着……随着她的阐述，教室里有了短暂的沉寂，随即响起了一阵阵会意的声音，大家都明白了！
对于还没学习倒数的五年级学生，能有这样的发现已是最接近本质的思考了。我有责任让小林感受：重要的不是知识的发现，而是知识的传递。于是我要求其他学生运用小林发现的规律各自写了一组算式，并再次计算验证，紧接着让他们把每组题中的第二个数交换位置，学生发现规律依然成立。数学的奇妙和有趣，以及它的再生长特点在此尽显。基于此，我提示学生，小林的发现之所以了不起，是因为她是从两个算式之间的关系来思考的，而“关系”是把握一切数学的关键和核心。
毋庸置疑，小林在这节课上某个时段是深入观察与思考的，是努力交流与沟通的，是想方设法传递知识分享智慧的。生命的生长与跳跃有时就是一个机会的把握、一个平台的搭建，我不由得窃喜：我成就了一个女孩光芒四射的时刻，让一直不自信她有了伟大的发现，有了“重生”般的惊喜。
上述两个案例，虽说都是计算教学，但是，它对我们更好地认识儿童的数学学习带有普遍性的启示意义。
首先，数学学习过程应该是一个舒展的、自由表现的过程。俗话说，闲暇出智慧。学习者只有在自由而宽松的氛围中，才能以最真实的状态呈现在教师面前。只有每个学习者的思维、精力都展现出来，教师才能把握到他们最真实的起点。存在的都是合理的，如果学生的学习起点是多样化的、有层次的，那教学就应该从这种差异出发，在平淡中开掘新奇，从独特中寻找精彩，将学习置身于充满挑战、思辨、探究、解惑、发现的场景中，学习自然就变得有意思、有意义。
其次，数学学习过程应该是一个伸展的、跳跃的过程。伸展意味着全方位的打开——知识的、能力的、思维的……只要全身“每个细胞”都被激活了，那学习就充满着无限的张力。数学学习不是在平地上行走，而是要拾级而上，“跳一跳，摘到果子”。这“跳”，是突破原有的定式，是另辟蹊径的发现，是灵感爆发后的豁然开朗，是学习成功后的激动喜悦。
总之，每个人生命的最初姿态本不相同，我们没有理由要求大家齐步向前。教育的要义是激励和唤醒：唤醒学生内在的自觉，激发学生潜在的能量。每个独特的生命个体，应该经历不一样的生命体验，不同能力的学生应该形成不一样的张力，从而形成丰富多彩的生命姿态。学习不是决出胜负的一场比赛，让部分欢喜部分忧愁；学习应该是敲响促进儿童生命拔节的鼓点，让儿童汲取向上生长的精神力量；学习就是从现实起点走向可能终点的伸展和跳跃。
（责编 金 铃）
[关键词]数学学习 伸展 跳跃 成长
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）11-005
“学有起点，但无终点。”这是对教育真谛的最好诠释。无论水平高低、能力强弱，在学习过程中学生对数学仍能保持一份兴趣，仍有思考的热情、沟通的欲望，仍有坚韧不拔的毅力、谨慎认真的品质，学生的生命就能获得伸展与跳跃，而这种伸展与跳跃就是学生最好的成长。
[案例一] “谢式做法”的“横空出世”
教学除数是小数的除法竖式，形如“4.2”时，一般会指导学生划去算式中的小数点转化成除数是整数的除法，这也是教材中的常规做法，但是竖式中原有的小数点和移动后的小数点的彼此干扰增加了计算难度，我一直也没有想到更好的解决办法。
前不久教学除数是小数的除法时，我突发念想：什么都不讲，学生会怎么做？
根据已有经验，学生懂得根据商不变的规律把原有算式“7.98÷4.2”转化成除数是整数的除法进行计算，于是我让学生尝试竖式计算。结果不同能力水平的学生呈现了不一样的状态：一部分学生因没有先例可循无从下手，示意他们看课本，但课本上也只有4.2的提示，没有具体做法，面对这个变形的竖式，他们一样手足无措；一部分学生开始尝试利用原有竖式“4.2”步步揣摩（是基于已有除法经验的合情推理，有一定的思维难度）；还有几名学生索性写成“420”后直接计算；只有一名姓谢的学生直接写成转化之后的除法竖式“42”，并很快完成，我把它命名为“谢式做法”。静静的课堂，火热的思考，各种想法都在悄然酝酿。
纵观全班，没有发现一名学生写成教材中的格式，看来教材推广的竖式不会自然生成。我先讲解了教材中的竖式，再把几种不同的做法集中呈现在黑板上，让学生自己登台讲述思路。在一一解读与比较后，学生明白了书上的竖式书写既保持了原有算式的样式，又有转化之后的面貌，前后变化一目了然，但仍觉得不习惯而且有点繁，不如“420”和“42”的竖式利落清爽。我对于“420”和“42”哪个更好并没有做出定论，而是让学生自由选择适合自己的竖式。其实，好与不好得看具体情况，再说，除了除数的大小变化，就此题而言它们没有明显的难度差别。
随着情况的复杂、练习的深入，少数学生坚持采取书上的常规做法，大部分学生开始趋向于“谢式做法”。教材呈现的只是个例子，适合学生的才是最好的。受学生的感染，我也在不知不觉中开始经常运用“谢式做法”了。这个姓谢的学生学习仅仅处于下游水平，却这丝毫没有影响“谢式做法”的“横空出世”，“谢式做法”的诞生让他足足“美”了一个星期，这样的体验何尝不是他学习经历中的一次优美伸展与华丽蜕变？
回顾“除数是小数的除法”的学习过程，教师介入很少，因为教师的“后退”成就了一个“学习共同体”，学生独立思考、自然生成、互相启发、彼此影响。无论是什么层次的学生都在与他人的交流中增强理解，在比较辨析中认同和接纳，在自我反思和同伴互助中丰富认识，发展能力。“谢式做法”的“横空出世”正是在这样的共同体中产生并得到普及，这正是学习的意义。
[案例二]直逼本质的数学发现
首先给出五年级教材中的一组习题：先算一算，再比较每组题的得数，你有什么发现？
4.8÷0.1= 2.6×0.5= 1.5÷0.25=
4.8×10= 2.6÷2= 1.5×4=
学生的描述不外乎：得数相等；一道是乘法，一道是除法；结果大于或小于被除数（或第一个因数）……显然，这些表象描述不够全面深入且不抵及编者意图。
题目涉及的要素比较复杂，我不再指望更有价值的发现，准备深度介入。突然，小林的手在我面前使劲地摇晃，大有不喊她回答绝不罢手之意。尽管知道这是个有点冲动的女孩，经常会有片面的理解和莫名的错误，但为了不挫伤她的积极性，还是让她来回答问题。小林颇为激动地说：“我发现除了大家说的，还有一个秘密——就是第一个算式里的除数和第二个算式里的后一个因数的积全部是1。”感觉其他同学还不能明白，她忍不住走上讲台对着算式比划着、讲述着……随着她的阐述，教室里有了短暂的沉寂，随即响起了一阵阵会意的声音，大家都明白了！
对于还没学习倒数的五年级学生，能有这样的发现已是最接近本质的思考了。我有责任让小林感受：重要的不是知识的发现，而是知识的传递。于是我要求其他学生运用小林发现的规律各自写了一组算式，并再次计算验证，紧接着让他们把每组题中的第二个数交换位置，学生发现规律依然成立。数学的奇妙和有趣，以及它的再生长特点在此尽显。基于此，我提示学生，小林的发现之所以了不起，是因为她是从两个算式之间的关系来思考的，而“关系”是把握一切数学的关键和核心。
毋庸置疑，小林在这节课上某个时段是深入观察与思考的，是努力交流与沟通的，是想方设法传递知识分享智慧的。生命的生长与跳跃有时就是一个机会的把握、一个平台的搭建，我不由得窃喜：我成就了一个女孩光芒四射的时刻，让一直不自信她有了伟大的发现，有了“重生”般的惊喜。
上述两个案例，虽说都是计算教学，但是，它对我们更好地认识儿童的数学学习带有普遍性的启示意义。
首先，数学学习过程应该是一个舒展的、自由表现的过程。俗话说，闲暇出智慧。学习者只有在自由而宽松的氛围中，才能以最真实的状态呈现在教师面前。只有每个学习者的思维、精力都展现出来，教师才能把握到他们最真实的起点。存在的都是合理的，如果学生的学习起点是多样化的、有层次的，那教学就应该从这种差异出发，在平淡中开掘新奇，从独特中寻找精彩，将学习置身于充满挑战、思辨、探究、解惑、发现的场景中，学习自然就变得有意思、有意义。
其次，数学学习过程应该是一个伸展的、跳跃的过程。伸展意味着全方位的打开——知识的、能力的、思维的……只要全身“每个细胞”都被激活了，那学习就充满着无限的张力。数学学习不是在平地上行走，而是要拾级而上，“跳一跳，摘到果子”。这“跳”，是突破原有的定式，是另辟蹊径的发现，是灵感爆发后的豁然开朗，是学习成功后的激动喜悦。
总之，每个人生命的最初姿态本不相同，我们没有理由要求大家齐步向前。教育的要义是激励和唤醒：唤醒学生内在的自觉，激发学生潜在的能量。每个独特的生命个体，应该经历不一样的生命体验，不同能力的学生应该形成不一样的张力，从而形成丰富多彩的生命姿态。学习不是决出胜负的一场比赛，让部分欢喜部分忧愁；学习应该是敲响促进儿童生命拔节的鼓点，让儿童汲取向上生长的精神力量；学习就是从现实起点走向可能终点的伸展和跳跃。
（责编 金 铃）