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动态电路是电学中经常遇到的一种典型问题，也是近几年来高考的热点内容之一，该类题目考查了学生对闭合电路欧姆定律的理解，电路的结构分析、串并联电路的特点，还考查学生的数学分析能力和逻辑推理能力.一般的资料在对动态电路进行讨论时，往往定性的分析较多.但只是给出定性的结论会有一些不好的方面，一是会使学生误认为这些结论是无法证明的，二是不利于培养学生严密的物理思维.其实，我们完全可以列出电阻或电流的表达式，然后利用数学工具进行定量的讨论，这样就使问题的分析过程清晰明了，使学生不仅知其然，而且知其所以然，真正掌握分析动态电路的方法.
在动态电路的问题中，我们会经常遇到以下两种电路：
在图1中，R为定值电阻，滑动变阻器分为两部分，其中一部分R1与定值电阻R并联（以下简称为并联段），然后这部分并联电路再和滑动变阻器的另一部分R2串联（以下简称为串联段）.我们可称图1这个电路为分压电路.
在图2中，R1、R2是定值电阻，R是滑动变阻器，电路中有两个并联支路，其中一支为R1和滑动变阻器的上半部分串联（可简称为R上），另一支为R2和滑动变阻器的下半部分串联（可简称为R下）.我们可称图2这个电路为并联电路.
在这两种电路中，电路的电阻、电流到底是如何变化的呢？一般的资料中会给出定性的结论.在图1所示的分压电路中，总电阻的变化情况与并联段电阻的变化情况相反，与串联段电阻的变化情况相同.在图2所示的并联电路中，当并联的两支路电阻相等时，总电阻最大；并联的两支路电阻相差越大时，总电阻越小.
但一般的资料中定量的讨论相对较少.下面，我们就针对一些典型的情况，通过数学工具来严密地来探讨电路中电阻和电流的变化情况.
1对图1的分压电路中的电阻、电流的讨论
例1如图3所示的电路中，电池组电动势为E、内电阻为r，当滑动变阻器的滑动触头P由a向b移动的过程中，则
A.电流表的示数将增大
B.电压表的示数将增大
C.灯L的亮度将增加
D.端电压将增大
分析与解这是个典型的分压电路，当滑动变阻器的滑动触头P由a向b移动的过程中，并联段的电阻增大，串联段的阻值减小，根据定性的结论：总电阻的变化情况与并联段电阻的变化情况相反，与串联段电阻的变化情况相同，总电阻的变化情况减小.其实我们可以用数学工具写出外电阻的表达式，电阻的变化情况就一目了然了.设滑动变阻器的总阻值为R，灯泡的电阻为RL，滑动变阻器与灯泡并联的这一段的阻值为Rx，则电路的外电阻
R外=R-Rx RxRLRx RL=R-R2xRx RL=R-11Rx RLR2x，
由上式可以看出，当Rx增大时，R外减小.所以题目中当滑动变阻器的滑动触头P由a向b移动的过程中，Rx增大，R外减小，所以路端电压减小，总电流增大，所以选项A正确，选项D错误.
对并联部分来说，电流变大，电阻也变大，所以并联部分的电压也变大，所以灯L的亮度也增加，所以选项C正确.
对滑动变阻器的右边一段，由于路端电压减小，而并联部分的电压增大，所以其两端的电压减小，故选项B错误.
本题答案为A、C.
例2电路中R0为定值电阻，R为滑动变阻器，总阻值为R.当在电路两端加上恒定电压U（图4），移动R的触片，可以改变电流表的示数，则电流表示数变化的范围是多少？
分析与解这也是个典型的分压电路，现在需要求解的这个分压电路中电流的情况.
设滑动变阻器触头左边的电阻为Rx，则所求电流
I=UR0RxR0 Rx R-Rx·R0R0 Rx
=UR0R0Rx RR0-R0Rx RRx-R2x=UR0-R2x RRx RR0
=UR0-（Rx-R2）2 RR0 R2r，
由上式可以看出，当Rx=R2时，I最小.
Imin=UR0RR0 R24=4UR04RR0 R2 （A）.
当滑动头置于左端或右端时，电流最大，Imax=UR （A）.
所以电流表的示数范围为4UR04RR0 R2～UR （A）.
例3在如图5所示电路中，滑动变阻器的总电阻R1=30 Ω，R2=40 Ω，R3=30 Ω，R4=15 Ω，电源电动势E=6 V，内阻r=5 Ω，当R1的滑片P从下端B逐渐移到上端A的过程中，何时R3的电功率最小.
分析与解R3为定值电阻，当R3的电流最小时，R3的功率最小.我们可以用数学工具讨论R3的电流I3.设滑动变阻器下端的阻值为Rx.则通过R3的电流
I3=E（R3 Rx）R2R3 Rx R2 R1-Rx R4 r·R2R3 Rx R2
=ER2-R2x （R1 R4 r-R3）Rx （R1 R4 r）（R3 R2） R2R3
=ER2-（Rx-R1 R4 r-R32）2 （R1 R4 r）（R3 R2） R2R3 （R1 R4 r-R3）24.
由上式可以看出，当
Rx=R1 R4 r-R32=30 15 5-302 Ω=10 Ω，
I3有最小值， 此时R3的功率最小.
2对图2并联电路中的电阻、电流的讨论
例4如图6所示的电路中，电源内阻不能忽略，阻值小于变阻器的总电阻，当滑动变阻器的滑片停在变阻器的中点时，电压表的示数为U，电流表的示数为I.那么，滑片P由中点向上移动的全过程中，电压表的示数将怎样变化？
分析与解由题意，设滑动变阻器的下半段阻值为Rx，则电路的外电阻为
R外=（R1 R-Rx）RxR1 R-Rx Rx R2=-R2x-（R1 R）RxR1 R R2
=-（Rx-R R12）2 （R R1）24R1 R R2.
从上式可以看出，当Rx=R R12时，R外有最大值.现在滑片P在变阻器的中点，故Rx=R2 例5如图7，E为有内阻的电源，R1为滑动变阻器，R2、R3为定值电阻，A、V为理想电表.电键闭合后，当滑动片P由a滑至b时，判断电流表的示数的变化情况.
分析与解如何知道通过R2的电流I2的变化情况？我们可以利用数学工具进行讨论.设滑动变阻右面一段的电阻为R右，左面一段的电阻为R左，则通过R2的电流
I2=I总×R左R2 R右 R左=R左R1 R2×E（R2 R右）R左R2 R右 R左 R3 r=R左·ER2R左 R右R左 （R3 r）（R2 R1）=E（R3 r）（R2 R1）R左 R右 R2.
从上式我们可以清楚地看到，当滑动片P由a滑至b时，R左一直在增大，R右一直在减小，所以通过I2的电流一直增大，即电流表的示数一直增大.
从上面的分析我们看见，利用数学工具讨论动态电路问题，可以使问题的分析过程更加清晰明了，使学生不仅知其然，而且知其所以然，这不仅帮助学生更好地掌握动态电路的知识，更加重要的是，可以使学生认识到物理的严密性和科学性，也更好地培养学生严密的物理思维.
在动态电路的问题中，我们会经常遇到以下两种电路：
在图1中，R为定值电阻，滑动变阻器分为两部分，其中一部分R1与定值电阻R并联（以下简称为并联段），然后这部分并联电路再和滑动变阻器的另一部分R2串联（以下简称为串联段）.我们可称图1这个电路为分压电路.
在图2中，R1、R2是定值电阻，R是滑动变阻器，电路中有两个并联支路，其中一支为R1和滑动变阻器的上半部分串联（可简称为R上），另一支为R2和滑动变阻器的下半部分串联（可简称为R下）.我们可称图2这个电路为并联电路.
在这两种电路中，电路的电阻、电流到底是如何变化的呢？一般的资料中会给出定性的结论.在图1所示的分压电路中，总电阻的变化情况与并联段电阻的变化情况相反，与串联段电阻的变化情况相同.在图2所示的并联电路中，当并联的两支路电阻相等时，总电阻最大；并联的两支路电阻相差越大时，总电阻越小.
但一般的资料中定量的讨论相对较少.下面，我们就针对一些典型的情况，通过数学工具来严密地来探讨电路中电阻和电流的变化情况.
1对图1的分压电路中的电阻、电流的讨论
例1如图3所示的电路中，电池组电动势为E、内电阻为r，当滑动变阻器的滑动触头P由a向b移动的过程中，则
A.电流表的示数将增大
B.电压表的示数将增大
C.灯L的亮度将增加
D.端电压将增大
分析与解这是个典型的分压电路，当滑动变阻器的滑动触头P由a向b移动的过程中，并联段的电阻增大，串联段的阻值减小，根据定性的结论：总电阻的变化情况与并联段电阻的变化情况相反，与串联段电阻的变化情况相同，总电阻的变化情况减小.其实我们可以用数学工具写出外电阻的表达式，电阻的变化情况就一目了然了.设滑动变阻器的总阻值为R，灯泡的电阻为RL，滑动变阻器与灯泡并联的这一段的阻值为Rx，则电路的外电阻
R外=R-Rx RxRLRx RL=R-R2xRx RL=R-11Rx RLR2x，
由上式可以看出，当Rx增大时，R外减小.所以题目中当滑动变阻器的滑动触头P由a向b移动的过程中，Rx增大，R外减小，所以路端电压减小，总电流增大，所以选项A正确，选项D错误.
对并联部分来说，电流变大，电阻也变大，所以并联部分的电压也变大，所以灯L的亮度也增加，所以选项C正确.
对滑动变阻器的右边一段，由于路端电压减小，而并联部分的电压增大，所以其两端的电压减小，故选项B错误.
本题答案为A、C.
例2电路中R0为定值电阻，R为滑动变阻器，总阻值为R.当在电路两端加上恒定电压U（图4），移动R的触片，可以改变电流表的示数，则电流表示数变化的范围是多少？
分析与解这也是个典型的分压电路，现在需要求解的这个分压电路中电流的情况.
设滑动变阻器触头左边的电阻为Rx，则所求电流
I=UR0RxR0 Rx R-Rx·R0R0 Rx
=UR0R0Rx RR0-R0Rx RRx-R2x=UR0-R2x RRx RR0
=UR0-（Rx-R2）2 RR0 R2r，
由上式可以看出，当Rx=R2时，I最小.
Imin=UR0RR0 R24=4UR04RR0 R2 （A）.
当滑动头置于左端或右端时，电流最大，Imax=UR （A）.
所以电流表的示数范围为4UR04RR0 R2～UR （A）.
例3在如图5所示电路中，滑动变阻器的总电阻R1=30 Ω，R2=40 Ω，R3=30 Ω，R4=15 Ω，电源电动势E=6 V，内阻r=5 Ω，当R1的滑片P从下端B逐渐移到上端A的过程中，何时R3的电功率最小.
分析与解R3为定值电阻，当R3的电流最小时，R3的功率最小.我们可以用数学工具讨论R3的电流I3.设滑动变阻器下端的阻值为Rx.则通过R3的电流
I3=E（R3 Rx）R2R3 Rx R2 R1-Rx R4 r·R2R3 Rx R2
=ER2-R2x （R1 R4 r-R3）Rx （R1 R4 r）（R3 R2） R2R3
=ER2-（Rx-R1 R4 r-R32）2 （R1 R4 r）（R3 R2） R2R3 （R1 R4 r-R3）24.
由上式可以看出，当
Rx=R1 R4 r-R32=30 15 5-302 Ω=10 Ω，
I3有最小值， 此时R3的功率最小.
2对图2并联电路中的电阻、电流的讨论
例4如图6所示的电路中，电源内阻不能忽略，阻值小于变阻器的总电阻，当滑动变阻器的滑片停在变阻器的中点时，电压表的示数为U，电流表的示数为I.那么，滑片P由中点向上移动的全过程中，电压表的示数将怎样变化？
分析与解由题意，设滑动变阻器的下半段阻值为Rx，则电路的外电阻为
R外=（R1 R-Rx）RxR1 R-Rx Rx R2=-R2x-（R1 R）RxR1 R R2
=-（Rx-R R12）2 （R R1）24R1 R R2.
从上式可以看出，当Rx=R R12时，R外有最大值.现在滑片P在变阻器的中点，故Rx=R2
分析与解如何知道通过R2的电流I2的变化情况？我们可以利用数学工具进行讨论.设滑动变阻右面一段的电阻为R右，左面一段的电阻为R左，则通过R2的电流
I2=I总×R左R2 R右 R左=R左R1 R2×E（R2 R右）R左R2 R右 R左 R3 r=R左·ER2R左 R右R左 （R3 r）（R2 R1）=E（R3 r）（R2 R1）R左 R右 R2.
从上式我们可以清楚地看到，当滑动片P由a滑至b时，R左一直在增大，R右一直在减小，所以通过I2的电流一直增大，即电流表的示数一直增大.
从上面的分析我们看见，利用数学工具讨论动态电路问题，可以使问题的分析过程更加清晰明了，使学生不仅知其然，而且知其所以然，这不仅帮助学生更好地掌握动态电路的知识，更加重要的是，可以使学生认识到物理的严密性和科学性，也更好地培养学生严密的物理思维.